Complexo de cadeias

Em topologia algébrica e em álgebra homológica, um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e homomorfismos.[1] Um complexo de cocadeias é semelhante a um complexo de cadeias, exceto que seus homomorfismos seguem uma convenção diferente. A homologia de um complexo de cocadeias é chamada de cohomologia.[2]

Definições

Um complexo de cadeia é uma sequência de grupos abelianos ou módulos ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... conectados por homomorfismos (chamados de operadores de fronteira ou diferenciais) d_n : A_n → A_n−1, de forma que a composição de quaisquer dois mapas consecutivos seja o mapa zero. Explicitamente, os diferenciais satisfazem d_n ∘ d_n+1 = 0, ou com índices suprimidos, d^2 = 0. O complexo pode ser escrito da seguinte forma.

${\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots }$

tais que ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$.

Os complexos de cadeias fazem parte da definição dos grupos de homologia.

Referências

1. Santos da Silva, Gabriel (2018). «HOMOLOGIA SINGULAR» (PDF). Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática 
2. «Cochain Complex - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Consultado em 8 de abril de 2021 

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