Astroide

 Nota: Não confundir com Asteroide.

Um astroide.

A construção do astroide.

O astroide sendo representado como um envelope comum de uma família de elipses traçadas, onde a + b = const.

Um astroide é um tipo específico de curva matemática: uma hipocicloide com quatro vértices. Especificamente, é o lugar geométrico de um ponto num círculo que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num raio.[1][2] Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.

O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco Joseph Johann von Littrow em 1838.[3][4] A curva possui vários nomes, que incluem tetracúspide (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à evoluta de uma elipse.

Equações

Se o raio do círculo fixo for a, então a equação é feita por:[1]

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}$

Isto implica que um astroide é também uma superelipse.

As equações paramétricas são:

${\displaystyle x=a\cos ^{3}t={a \over 4}(3\cos t+\cos 3t),}$

${\displaystyle y=a\sin ^{3}t={a \over 4}(3\sin t-\sin 3t).}$

Uma equação pedal em relação à origem é:

${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$

A equação de Whewell é:

${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$

E a equação de Cesàro é:

${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$

A equação polar é:[5]

${\displaystyle r={\frac {a}{(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta )^{3/2}}}.}$

O astroide é um lugar geométrico real de uma curva algébrica plana de género zero. Tem a seguinte equação:[6]

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.\,}$

O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.

Derivação da equação polinomial

A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}$

Em ambos os lados do cubo:

${\displaystyle x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}=a^{6/3}\,}$

${\displaystyle x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})+y^{2}=a^{2}\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-a^{2}=-3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})\,}$

Em ambos os lados do cubo de novo:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}(x^{2/3}+y^{2/3})^{3}\,}$

Mas desde que:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$

Siga assim:

${\displaystyle (x^{2/3}+y^{2/3})^{3}=a^{2}.\,}$

Sendo:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}\,}$

ou:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.\,}$

Propriedades métricas

Uma área envolvente[1]

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Comprimento da curva

${\displaystyle 6a}$

O volume da superfície de revolução da área envolvente sobre o eixo x.

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

A área da superfície de revolução sobre o eixo x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Propriedades

O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.

A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: ${\displaystyle \textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ A evoluta de um astroide é duas vezes maior.

Ver também

• Cardioide
• Nefroide
• Curva deltoide
• Astroide de Stoner–Wohlfarth

Referências

1. Yates, R.C. (1952). «Astroid». A Handbook on Curves and Their Properties (em inglês). Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. p. 1 ff. 
2. Nunes, Paulo (1 de dezembro de 2015). «Astroide». Knoow.net 
3. Littrow, Joseph Johann von (1838). «§99. Die Astrois». Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik (em alemão). Viena: [s.n.] p. 299 
4. Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte (em alemão). Lípsia: [s.n.] p. 224 
5. Weisstein, Eric W. «Astroid». MathWorld (em inglês) 
6. «Astroid ∗» (PDF) (em inglês). Xah Code. p. 3. Consultado em 11 de março de 2019 

• Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. p. 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5 
• D, Wells (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (em inglês). Nova Iorque: Penguin Books. p. 10–11. ISBN 0-14-011813-6 

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Astroide», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• «Astroide» (em inglês). na Universidade de St Andrews 
• «Astroide» (em francês). na Enciclopédia das Formas Notáveis ^[ligação inativa] 
• «Astroide» (em inglês). na 2dcurves.com 
• «Astroide» (em inglês). no Dicionário Visual de Curvas Planas Especiais 
• «Barras de um astroide» (em inglês). no Wolfram Demonstrations Project de Sándor Kabai 

• Portal da matemática