Aproximações de π

Gráfico mostrando a evolução histórica do recorde da precisão da aproximação numérica de pi, medido em dígitos decimais (plotado em escala logarítmica; no tempo antes de 1400 está fora de escala)

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a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
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Aproximação numérica de ${\displaystyle \scriptstyle {\pi }}$: enquanto pontos são aleatoriamente dispersos dentro da unidade quadrada, alguns caem dentro da unidade circular. A fração de pontos que caem no circulo aproxima-se de π/4 quando mais pontos são adicionados a ele

Aproximações da constante matemática pi (π) na história da matemática atingiram uma precisão de 0,04% antes do início da era moderna (Arquimedes). Na matemática chinesa a aproximação foi melhorada, correspondendo a aproximadamente sete dígitos decimais no século V.

Progressos adicionais não foram registrados até o século XV (Ghiyath al-Kashi). Matemáticos do início da idade moderna obtiveram uma precisão de 35 dígitos no início do século XVII (Ludolph van Ceulen), e 126 dígitos no século XIX (Jurij Vega).

O recorde de aproximação manual do número pi foi de William Shanks, que calculou corretamente 527 dígitos em 1873.[1][2] Desde a metade do século XX a aproximação de ${\displaystyle \scriptstyle {\pi }}$ tem sido tarefa de computadores eletrônicos digitais; em novembro de 2016, o recorde é 22,4 trilhões ^* trilhões de dígitos.[3] (Para uma visão compreensiva ver cronologia do cálculo de pi.)

História antiga

As adaptações mais conhecidas de π datando de antes da Era Comum são números de duas casas decimais; isso foi melhorado com a matemática chinesa, em particular pela metade do primeiro milênio.

Alguns egiptólogos[4] reivindicam que pessoas do Antigo Egito usaram como aproximação de π a fração 22⁄7 durante o período do Império Antigo.[5] Essa reivindicação possui céticos.[6][7]

Na matemática babilônica, π era usualmente aproximado para 3, o que foi suficiente para os projetos arquitetônicos da época (notavelmente refletiu para a descrição do Templo de Salomão na Bíblia hebraica.[8] Os babilônicos tinham conhecimento que isso era uma aproximação e um antigo tablete babilônico matemático escrito próximo a Susa em 1936 (e datada entre os séculos XIX e XII AEC) davam a melhor aproximação de π como 25/8=3,125, aproximadamente 0,5% abaixo do valor exato.[9]

O egípcio Papiro de Rhind (datado do segundo período intermediário, aproximadamente 1600 AEC, embora parecer ser uma cópia de mais velho texto do Império Médio) implica na aproximação de π em 256⁄81 ≈ 3,16 (exatidão de 0,6%) pelo cálculo do círculo assemelhando ele de um octógono.[5][10]

Cálculos astronômicos no Satapatha Brahmana (aproximadamente século I AEC) usa a aproximação fracional 339/108≈3,139.[11]

No século III AEC, Arquimedes provou as desigualdades agudas 223⁄71 < π < 22⁄7 por um 96-gono (precisões de 2·10^−4 e 4·10^−4 respectivamente).

O matemático chinês Liu Hui em 263 EC calculou π entre 3,141024 e 3,142708 ao inscrever um 96-gono e um 192-gono; a média dos dois valores é de 3,141864 (precisão de 9·10^−5). Ele também sugeriu que 3,14 seria um bom valor para a praticidade. Ele é também creditado por um posterior e mais preciso resultado: π ≈ 3927/1250 = 3,1416, mas alguns estudiosos acreditam, por causa da posterioridade (século V), que é do matemático chinês Tsu Ch'ung Chih.[12] Ele também é conhecido por ter calculado π entre 3,1415926 e 3,1415927, que estava correto até a sétima casa decimal. Ele deu duas aproximações ao π: π ≈ 22/7 e π ≈ 355/113. A última fração é a melhor e possível aproximação racional de π usando menos que cinco dígitos decimais no numerador e denominador. O resultado de Tsu Ch'ung Chih ultrapassa a precisão feita pela matemática grega e continuaria sem melhoras até o final do milênio.

No Império Gupta, o matemático Ariabata em seu tratado astronômico Āryabhaṭīya calculou o valor de π com cinco casas decimais significativas (π ≈ 62832/20000 = 3,1416),[13] usando-o para calcular aproximadamente a circunferência da Terra.[14] Ariabata falou que seu resultado "aproximado" (āsanna "aproximar") dava a circunferência de um circulo. O seu comentarista no século XV Nilakantha Somayaji (da escola Kerala de Astronomia e Matemática) argumentou que a palavra não significava somente uma aproximação, mas que o valor era imensurável (irracional).[15]

Idade média

Comparação de convergências das duas séries de Madhava (aquele com √12 em azul escuro) e diversas de outras históricas séries infinitas para π. S_n é a aproximação após pegar n termos. Cada gráfico área sombrada é aumentada em 10 vezes

Pelo século V EC, π era conhecido por aproximadamente sete dígitos na matemática chinesa e cinco na matemática hindi. Progresso posterior não foi feito até o fim do milênio, até o século XIV, quando o matemático e astrônomo Madhava de Sangamagrama, fundador da escola Kerala de Astronomia e Matemática, descobriu a série infinita de π, conhecido como série de Madhava–Leibniz,[16][17] e dá dois métodos para calcular o valor de π. Um dos métodos é obter rapidamente a série convergente transformando na série original infinita de π. Fazendo-o, ele obteve a série infinita

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

e usou os primeiros 21 termos para calcular uma aproximação de π com 11 casas decimais certas: 3,14159265359.

O outro método usado foi adicionar termo restante à série original de π. Ele usou o termo remanescente

${\displaystyle {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

na expansão infinita da série de π⁄4 a melhorar a aproximação de π em 13 casas decimais de precisão quando when n = 75.

Ghiyath al-Kashi, astrônomo e matemático persa calculou corretamente 2π até a 9 sexagesimal casa no ano de 1424.[18] O número com 17 dígitos decimais é

${\displaystyle 2\pi \approx 6.28318530717958648,\,}$

o que equivale a

${\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979324.\,}$

Ele conseguiu essa precisão por calcular o perímetro de um polígono regular com 3 × 2^28 lados.[19]

Séculos XVI a XIV

Na segunda metade do século XVI, o matemático francês François Viète descobriu um convergindo a π chamado de fórmula de Viète.

O matemático alemão Ludolph van Ceulen, por volta do ano de 1600, calculou as primeiras 35 casas decimais de π com o 2^62-gono. O número calculado foi inscrito em sua lápide.

Em Cyclometricus (1621), Willebrord Snel van Royen obteve uma evolução no modo de desenvolver o número π ao sugerir que o perímetro de um polígono de quantidade de lados qualquer converge àquele número o dobro da rapidez de que um perímetro circunscrito em um polígono. Isso foi provado primeiramente por Christiaan Huygens em 1654. Usando esse método foi possível obter 7 dígitos de um polígono com 96 lados.[20]

Referências

1. Chris Smyth (7 de janeiro de 2010). «Pi a mathematical story that would take 49000 years to tell». The Times. Consultado em 27 de novembro de 2015 
2. «Shank's Biography». School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Consultado em 30 de outubro de 2012 
3. Yee, Alexander J. (2016). «y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program». Consultado em 5 de agosto de 2017 
4. Petrie, W.M.F. Wisdom of the Egyptians (1940)
5. Baseado na Grande Pirâmide de Giza, teriam construído-o supostamente de modo que o circulo, que possui o raio igual à altura da pirâmide, tivesse a circunferência igual ao perímetro da base (1760 côvados ao redor e 280 côvados de altura). Verner, Miroslav. The Pyramids: The Mystery, Culture, and Science of Egypt's Great Monuments. Grove Press. 2001 (1997). ISBN 0-8021-3935-3
6. Rossi, Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-69053-9.
7. Legon, J. A. R. On Pyramid Dimensions and Proportions (1991) Discussions in Egyptology (20) 25-34. Visitado em 27 de novembro de 2015.
8. Ver #Valor bíblico de pi, onde há uma aparente definição de que π ≈ 3 nos primeiros tempos do judaísmo rabínico, abordada por Rabbi Nehemiah no século II. Petr Beckmann, A History of Pi, St. Martin's (1971).
9. • David Gilman Romano, Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion, American Philosophical Society, 1993, p. 78. "A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of π was 3 1/8 or 3,125."
   • E. M. Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950.
   • E. M. Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse, Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV (1961).
   • Beckmann, Petr (1971), A History of Pi, New York: St. Martin's Press, pp. 12, 21–22 . "In 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. [...] The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, [...] states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60+36/(60)^2 [i.e. π = 3/0.96 = 25/8]".
   • Jason Dyer, On the Ancient Babylonian Value for Pi, 3 de dezembro de 2008.
10. Katz, Victor J. (ed.), Imhausen, Annette et al. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press. 2007. ISBN 978-0-691-11485-9
11. Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). P. 133.
12. Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (1986), «Circle measurements in ancient China», Historia Mathematica, 13 (4): 325–340, MR 875525, doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8 . Reimpresso em Berggren, J. L.; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004), Pi: A Source Book, ISBN 9780387205717, Springer, pp. 20–35 . Ver páginas p. 333–334 (p. 28–29 da reimpressão).
13. Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10):

    chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ.

    "Adicione-se quatro a cem, multiplica-o por oito e adicione, então, sessenta e dois mil. O resultado é aproximadamente uma circunferência com o circulo de diâmetro vinte mil. Por essa regra a relação da circunferência com o diâmetro é dada."

    Em outras palavras, (4 + 100) × 8 + 62000 é a circunferência com o diâmetro de 20000. Isso dará o valor de π ≈ 62832/20000 = 3,1416. Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third Edition). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70 
14. «Aryabhata the Elder». University of St Andrews, School of Mathematics and Statistics. Consultado em 20 de julho de 2011 
15. S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 81-7371-205-0 
16. George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 58. ISBN 0-521-78988-5 
17. Gupta, R. C. (1992). «On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series». Ganita Bharati. 14 (1-4): 68–71 
18. Al-Kashi, autor: Adolf P. Youschkevitch, editor chefe: Boris A. Rosenfeld, p. 256
19. Azarian, Mohammad K. (2010). «al-Risāla al-muhītīyya: A Summary». Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85 
20. Gopal Chakrabarti; Richard Hudson (2003). «An improvement of Archimedes method of approximating π» (pdf). International Journal of Pure and Applied Mathematics (em inglês). 7 (2). Consultado em 4 de dezembro de 2015 

Bibliografia

• Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon (Abril de 1997). «On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants» (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9  !CS1 manut: Usa parâmetro autores (link)
• Beckmann, Petr (1971), Uma História de Pi, ISBN 978-0-88029-418-8, New York: St. Martin's Press, MR 0449960 
• Eves, Howard (1992), An Introduction to the History of Mathematics, ISBN 0-03-029558-0 6th ed. , Saunders College Publishing 
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics New ed., London : Penguin ed. London: Penguin. ISBN 0-14-027778-1 
• Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza. London: BBC 

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