Projeto de lei de Indiana sobre Pi

O círculo modelo de Goodwin conforme descrito na seção 2 do projeto de lei. Ele tem um diâmetro de 10 e uma circunferência alegada de "32" (não 10π ≈ 31,4159); a corda de 90° tem um comprimento declarado como "7" (não 5√2 ≈ 7,0710)

O projeto de lei de Indiana sobre Pi (em inglês: Indiana Pi Bill) é o nome popular do projeto de lei nº 246 da sessão de 1897 da Assembleia Geral de Indiana, uma das tentativas mais notórias de estabelecer a verdade matemática por decreto legislativo. Apesar de seu nome, o principal resultado reivindicado pelo projeto de lei é um método para a quadratura do círculo, em vez de estabelecer um certo valor para a constante matemática π, a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. O projeto de lei, escrito por matemático amador Edward J. Goodwin, implica vários valores incorretos de π, tais como 3.2.

O projeto nunca se tornou lei, devido à intervenção do professor C. A. Waldo, da Universidade de Purdue, que estava presente na legislatura no dia em que o projeto de lei passou para votação.

A impossibilidade da quadratura do círculo usando apenas régua e compasso, suspeita desde a antiguidade, foi rigorosamente comprovada em 1882 por Ferdinand von Lindemann. Melhores aproximações de π do que as implícitas no projeto são conhecidas desde a antiguidade.

História legislativa

Uma charge política de 1897 zombando do projeto de lei de Indiana sobre Pi

Em 1894, o médico e matemático amador de Indiana Edward J. Goodwin (ca. 1825-1902[1]) acreditava ter descoberto uma forma correta de realizar a quadratura do círculo.[2] Ele propôs um projeto de lei para o deputado estadual Taylor I. Record, que Record apresentou na Casa sob o longo título "Um projeto de lei para um ato introduzindo uma nova verdade matemática e oferecido como uma contribuição para a educação, a ser usado apenas pelo Estado de Indiana, livre de custos, através do pagamento de royalties seja qual for o mesmo, desde que seja aceito e adotado pela ação oficial do Legislativo de 1897".

O texto do projeto de lei consiste em uma série de alegações matemáticas (detalhadas abaixo), seguidas por uma recitação das realizações anteriores de Goodwin:

... suas soluções da trissecção do ângulo, duplicação do cubo e quadratura do círculo já tendo sido aceitas como contribuições à ciência pela American Mathematical Monthly ... E que seja lembrado que os corpos científicos desistiram há bastante tempo dos problemas mencionados por considerá-los mistérios insolúveis e acima da capacidade humana de compreensão.

As "soluções" de Goodwin foram, de fato, publicadas no American Mathematical Monthly, embora com um aviso "publicado a pedido do autor".[3]

Após a sua introdução na câmara de representantes de Indiana, a redação e o tópico do projeto de lei causaram confusão entre os membros; um membro de Bloomington propôs que ele fosse encaminhado para o Comitê de Finanças, mas o Orador aceitou outro a recomendação de outro membro de referir o projeto de lei à Comissão de Pântanos, onde a lei pudesse "encontrar uma merecida sepultura".[4] Ele foi transferido para a Comissão de Educação, que se posicionou favoravelmente;[5] seguindo uma moção para suspender as regras, o projeto de lei foi aprovado no dia 6 de fevereiro,[6] sem um voto contrário.[5] A notícia do projeto de lei ocasionou uma resposta alarmada do Der Tägliche Telegraph, um jornal de língua alemã, em Indianápolis, que considerava o evento com muito menos a favor do que seus concorrentes de língua inglesa.[4] Com a conclusão deste debate, o professor C. R. Waldo, da Purdue University, chegou em Indianápolis para fixar a dotação anual para a Academia de Ciências de Indiana. Um deputado entregou-lhe o projeto, oferecendo-se para apresentá-lo ao gênio que o escreveu. Ele recusou, dizendo que ele já havia conhecido tantas pessoas loucas quantas ele gostaria.[5][7]

Quando ele alcançou o Senado de Indiana, o projeto de lei não foi tratado tão gentilmente, pois Waldo tinha treinado os senadores anteriormente. O comitê para o qual ele tinha sido atribuído se posicionou desfavoravelmente, e do Senado, apresentou-o em 12 de fevereiro;[8] estava quase passado, mas a opinião mudou quando um senador observou que a Assembleia Geral não tinha o poder de definir a verdade matemática.[9] Influenciando alguns dos senadores estava um relatório que os principais jornais, como o Chicago Tribune, começaram para ridicularizar a situação.[6]

De acordo com o artigo do Indianapolis News de 13 de fevereiro, página 11, coluna 3:.[10]

.. o projeto de lei foi trazido à tona e ridicularizado. Os Senadores fizeram trocadilhos ruins sobre o projeto, o ridicularizaram e riram dele. A diversão durou meia hora. O senador Hubbell disse que não era apropriado para o Senado, que estava custando ao Estado $250 por dia, desperdiçar o seu tempo em tais frivolidades. Ele disse que, na leitura dos principais jornais de Chicago e do Oriente, ele descobriu que a Legislatura do Estado de Indiana já havia se sujeitado ao ridículo pelas ações que já haviam sido tomadas sobre o projeto de lei. Ele pensou que a consideração de tal proposição não era digna ou merecedora do Senado. Ele fez uma moção para o adiamento indefinido do projeto de lei, e a moção foi realizado.[5]

Matemática

Aproximação de π

Embora o projeto de lei tenha se tornado conhecido como o "projeto de lei do pi" (em inglês: Pi Bill), o seu texto sequer menciona o nome "pi", e Goodwin parece ter pensado sobre a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo como algo distintamente secundário ao seu objetivo principal que era a quadratura do círculo. Perto do final da seção 2 aparece a seguinte passagem:

Além disso, ele revelou a razão entre a corda e do arco de noventa graus, que é como a de sete para oito, e também a relação entre a diagonal e um lado de um quadrado, que é como a de dez para sete, revelando o quarto fato importante, de que a razão entre o diâmetro e a circunferência é como a de cinco-quartos para quatro[.][11]

Isso chega perto de uma afirmação explícita de que ${\textstyle \pi ={\frac {4}{1,25}}=3,2}$, e que ${\textstyle {\sqrt {2}}={\frac {10}{7}}\approx 1,429}$.

Esta citação é frequentemente lida como três afirmações mutuamente incompatíveis, mas elas se encaixam bem se a declaração sobre ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ é interpretada como sendo sobre o quadrado inscrito (com o diâmetro do círculo como diagonal), ao invés do quadrado sobre o raio (com a corda de 90° como diagonal). Juntos, eles descrevem o círculo mostrado na figura, cujo diâmetro é 10 e a circunferência é 32; a corda de 90° é considerada como 7. Ambos os valores 7 e 32 são poucos por cento dos verdadeiros comprimentos para um círculo de diâmetro 10 (o que não justifica Goodwin apresentá-los como exatos). A circunferência deve estar mais próxima de 31.4159 e a diagonal "7" deve ser a raiz quadrada de 50 (=25+25), ou mais próxima de 7.071.

Área do círculo

O objetivo principal de Goodwin não era medir comprimentos no círculo, mas fazer a sua quadratura, que ele interpretou literalmente como encontrar um quadrado com a mesma área do círculo. Ele sabia que a fórmula de Arquimedes para a área de um círculo, que é dada pelo produto do diâmetro por um quarto da circunferência, não é considerada uma solução para o antigo problema da quadratura do círculo. Isso é porque o problema é a construção da área, utilizando apenas régua (não graduada) e compasso, e Arquimedes não forneceu um método para a construção de um segmento de reta com o mesmo comprimento da circunferência. Aparentemente, Goodwin desconhecia este requisito central; ele acreditava que o problema com a fórmula de Arquimedes era que ela desse resultados numéricos incorretos, e que a solução do antigo problema deveria consistir de substituí-la por uma fórmula "correta". No projeto de lei ele propos, sem argumento, o seu próprio método:

Foi encontrado que uma área circular está para o quadrado em uma linha igual ao quadrante da circunferência, assim como a área de um retângulo equilátero está para o quadrado sobre um lado.[11]

Isso parece desnecessariamente complicado, já que um "retângulo equilátero" é, por definição, um quadrado. Em termos simples, a afirmação é a de que a área de um círculo é o mesmo que a de um quadrado com o mesmo perímetro. Esta afirmação resulta em outras contradições matemáticas que Goodwin tenta responder. Por exemplo, logo após a citação acima o projeto de lei continua dizendo:

O diâmetro empregado como unidade linear de acordo com a regra atual no cálculo da área do círculo é totalmente errado, pois representa a área do círculo com um e um quinto da área de um quadrado cujo perímetro é igual à circunferência do círculo.

No círculo modelo acima, a área Arquimediana (aceitando os valores de Goodwin para a circunferência e o diâmetro) seria 80, enquanto que a regra proposta por Goodwin leva a uma área de 64. Agora, 80 excede 64 por um quinto de 80, e Goodwin parece confundir ${\textstyle 64=80\times {\bigl (}1-{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}}$ com ${\textstyle 80=64\times {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}}$, uma aproximação que funciona somente para frações muito menores do que 15.

A área encontrada pela regra de Goodwin é π4 vezes a verdadeira área do círculo, que em muitos relatos do projeto de lei sobre Pi é interpretado como uma afirmação de que π = 4. No entanto, não há nenhuma evidência interna no projeto de lei de que Goodwin pretendesse fazer tal afirmação; pelo contrário, ele nega repetidamente que a área do círculo tenha algo a ver com o seu diâmetro.

O erro relativo da área de 1 − π4 é de cerca de 21 por cento, o que é muito mais grave do que as aproximações dos comprimentos no círculo modelo da seção anterior. É desconhecido o que fez Goodwin acreditar que sua regra pudesse estar correta. Em geral, figuras com o mesmo perímetro não terão a mesma área (ver desigualdade isoperimétrica); a demonstração típica deste fato é a comparação de uma forma longa e fina, que cerca uma pequena área (a área aproximando-se de zero conforme a largura diminui) a uma de mesmo perímetro, cuja altura seja aproximadamente igual à largura (a área aproximando-se do quadrado da largura), obviamente de maior área.

Referências

1. Dudley 1992, p. 195, citando um obtuário
2. Edward J. Goodwin (julho de 1894) "Quadrature of the circle," American Mathematical Monthly, 1(7): 246-248.
   • Ver: Purdue Agricultural Economics.
   • Reimpresso em: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein, Pi: A Source Book, 3rd ed. (New York, New York: Springer-Verlag, 2004), page 230.
   • Ver também: Edward J. Goodwin (1895) "(A) The trisection of an angle; (B) Duplication of the cube," American Mathematical Monthly, 2: 337.
3. "Clearing the Misunderstanding Re My April Fool's `Joke'", math.rutgers.edu.
4. Hallerburg 1975, p. 385.
5. «Indiana Pi». Cópia arquivada em 21 de fevereiro de 2019 
6. Hallerburg 1975, p. 390.
7. Waldo, C. A. (1916). «What Might Have Been». Proceedings of the Indiana Academy of Science: 445–446. Consultado em 24 de abril de 2017 
8. Hallerburg 1975, p. 386.
9. Hallerburg 1975, p. 391.
10. «THE MATHEMATICAL BILL. Fun-Making In the Senate Yester-day Afternoon--Other Action.». Indianapolis News. 13 de fevereiro de 1897. Consultado em 24 de abril de 2017 
11. «Texto do projeto de lei». Cópia arquivada em 27 de junho de 2013 

Bibliografia

• Hallerburg, Arthur E. (1975). «House Bill No. 246 Revisited». Proceedings of the Indiana Academy of Science. 84: 374–399  Scan in context.
• Hallerberg, Arthur E. (1977). «Indiana's Squared Circle». Mathematics Magazine. 50 (3): 136–140. JSTOR 2689499. doi:10.1080/0025570X.1977.11976632 
• David Singmaster, in "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69–72) finds seven different values of pi implied in Goodwin's work.
• Petr Beckmann, A History of π. St. Martin's Press; 1971.
• Dudley, Underwood (1992), «Legislating Pi», Mathematical Cranks, ISBN 0-88385-507-0, MAA spectrum, Cambridge University Press, pp. 192 sq 

Ligações externas

• The Straight Dope – Uma assembleia legislativa do estado aprovou uma lei uma vez dizendo que pi é igual a 3?
• Alabama Altera o Valor de Pi fake relatada no Snopes