Różnica symetryczna zbiorów
Diagram Venna dla
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
{\displaystyle A{\dot {-}}B}
(różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)
Różnica symetryczna zbiorów
A
{\displaystyle A}
i
B
{\displaystyle B}
– zbiór , do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów[1] , czyli zbioru
A
{\displaystyle A}
nienależące do zbioru
B
{\displaystyle B}
oraz elementy zbioru
B
{\displaystyle B}
nienależące do zbioru
A
{\displaystyle A}
[2] .
To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolami[2] [3] [4] :
− − -->
˙ ˙ -->
,
{\displaystyle {\dot {-}},}
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta }
oraz
⊕ ⊕ -->
{\displaystyle \oplus }
[5] . Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorów [2] , a także równoważnie, odwołując się też do przekroju :
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
:=
(
A
∖ ∖ -->
B
)
∪ ∪ -->
(
B
∖ ∖ -->
A
)
=
(
A
∪ ∪ -->
B
)
∖ ∖ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
.
{\displaystyle A{\dot {-}}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).}
Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone [6] .
Własności
Jeśli
A
⊆ ⊆ -->
B
,
{\displaystyle A\subseteq B,}
to
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
=
B
∖ ∖ -->
A
.
{\displaystyle A{\dot {-}}B=B\setminus A.}
Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
Jeśli
A
∩ ∩ -->
B
=
∅ ∅ -->
,
{\displaystyle A\cap B=\emptyset ,}
to
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
=
A
∪ ∪ -->
B
;
{\displaystyle A{\dot {-}}B=A\cup B;}
ogólniej,
A
∪ ∪ -->
B
=
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
− − -->
˙ ˙ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle A\cup B=A{\dot {-}}B{\dot {-}}(A\cap B)}
[3] .
A
∖ ∖ -->
B
=
A
− − -->
˙ ˙ -->
(
A
∩ ∩ -->
B
)
{\displaystyle A\setminus B=A{\dot {-}}(A\cap B)}
[3]
Zbiór
A
− − -->
˙ ˙ -->
(
B
− − -->
˙ ˙ -->
C
)
{\displaystyle A{\dot {-}}(B{\dot {-}}C)}
składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3] [4] .
Zbiór potęgowy
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
zbioru
A
{\displaystyle A}
z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną , gdyż działanie to:
jest operacją łączną ,
jest operacją przemienną ,
ma element neutralny – jest nim zbiór pusty :
A
− − -->
˙ ˙ -->
∅ ∅ -->
=
A
{\displaystyle A{\dot {-}}\varnothing =A}
[4] ,
ma element odwrotny dla dowolnego zbioru
A
{\displaystyle A}
– jest nim sam zbiór
A
,
{\displaystyle A,}
gdyż
A
− − -->
˙ ˙ -->
A
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle A{\dot {-}}A=\varnothing }
[4] .
Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej[7] .
Z powyższych powodów zestaw
(
P
(
A
)
,
− − -->
˙ ˙ -->
,
∩ ∩ -->
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(A),{\dot {-}},\cap )}
tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo
A
∩ ∩ -->
A
=
A
{\displaystyle A\cap A=A}
dla wszystkich
A
∈ ∈ -->
P
(
A
)
.
{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(A).}
Jest to przykład pierścienia Boole’a .
Różnica symetryczna w logice
Przyjmując, że zdanie logiczne
a
{\displaystyle a}
oznacza: „
x
{\displaystyle x}
należy do zbioru
A
{\displaystyle A}
”, natomiast zdanie
b
:
{\displaystyle b{:}}
„
x
{\displaystyle x}
należy do zbioru
B
{\displaystyle B}
” to zdanie
x
∈ ∈ -->
A
− − -->
˙ ˙ -->
B
{\displaystyle x\in A{\dot {-}}B}
można równoważnie zapisać jako
a
∨ ∨ -->
_ _ -->
b
,
{\displaystyle a{\underline {\lor }}b,}
gdzie
∨ ∨ -->
_ _ -->
{\displaystyle {\underline {\lor }}}
oznacza alternatywę rozłączną .
Przypisy
↑ różnica symetryczna zbiorów , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-07-07] .
↑ a b c Kuratowski i Mostowski 1952 ↓ , s. 8.
↑ a b c d Kuratowski 1980 ↓ , s. 27.
↑ a b c d Rasiowa 1975 ↓ , s. 30.
↑ Ross i Wright 1996 ↓ , s. 25.
↑ Jeff Miller, Symmetric difference , [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (ang. ) , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].
↑ Symmetric difference of sets (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].
Bibliografia
Kazimierz Kuratowski , Andrzej Mostowski : Teoria mnogości . Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901 . [dostęp 2016-09-23].
Kazimierz Kuratowski : Wstęp do teorii mnogości i topologii . Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna , t. 9. ISBN 83-01-01372-9 .
Helena Rasiowa : Wstęp do matematyki współczesnej . Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna , t. 30. OCLC 749626864 .
Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna . E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 1996. ISBN 83-01-12129-7 .
Linki zewnętrzne