Przykłady grup

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria.

W tych grupach działaniem jest dodawanie:

• liczby całkowite^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$
  • liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej^[2] ${\displaystyle n\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ;}$
  • w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej^[3];
• liczby wymierne^[2] ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$
• liczby rzeczywiste^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$
  • liczby rzeczywiste postaci ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, gdzie liczby ${\displaystyle a,b}$ są wymierne^[4]: ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} ;}$
• liczby zespolone^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ;}$
• liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},n\in \mathbb {Z} _{+};}$
• liczby rzeczywiste modulo 1 ${\displaystyle (\mathbb {R} /(1))}$ – przedział ${\displaystyle [0;1)}$ z działaniem^[6]:

${\displaystyle a\oplus b={\begin{cases}a+b&{\text{dla }}a+b<1\\a+b-1&{\text{dla }}a+b\geqslant 1;\end{cases}}}$

• analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia^[7]: ${\displaystyle \mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};}$
  • analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia^[7]: ${\displaystyle \mathbb {Q} /(d),d\in \mathbb {Q} _{+};}$
• potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times ...\times \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ^{n},\ \mathbb {R} ^{n},\ \mathbb {C} ^{n}}$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementów^[7]:

${\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{n}+(b_{i})_{i=1}^{n}=(a_{i}+b_{i})_{i=1}^{n}.}$

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ – przestrzeniami kartezjańskimi^[8];

• wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej^[7];
• zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: ${\displaystyle \mathbb {Z} [X],\ \mathbb {Q} [X],\ \mathbb {R} [X],\ \mathbb {C} [X]}$ itp.^[9]

Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

• niezerowe liczby wymierne^[9] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\neq 0};}$
  • jedynka i minus jedynka^[2] ${\displaystyle \{1,-1\};}$
  • dodatnie liczby wymierne^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+};}$
  • jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej^[3];
• niezerowe liczby rzeczywiste^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} _{\neq 0};}$
  • dodatnie liczby rzeczywiste^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} _{+};}$
  • liczby rzeczywiste postaci ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$, gdzie liczby ${\displaystyle a,b}$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} ,(a,b)\neq (0,0)}$^[10];
• niezerowe liczby zespolone^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} _{\neq 0};}$
  • liczby zespolone o module jednostkowym^[2] – grupa okręgu ${\displaystyle \mathbb {C} _{1};}$
  • pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki^[11]: ${\displaystyle \mathbb {E} _{n}=\{z\in \mathbb {C} :z^{n}=1\}.}$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji:

• grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną^[13] ${\displaystyle S_{X};}$
  • grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie^[14] ${\displaystyle S_{n};}$
  • grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru^[15] ${\displaystyle A_{n};}$
  • funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze ${\displaystyle id(x)=x}$ to inny przykład grupy trywialnej^[3];
• rzeczywiste funkcje liniowe^[16]: ${\displaystyle f(x)=ax+b,\ a,b\in \mathbb {R} ;}$
• rzeczywiste homografie^[17]: ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\ ad-bc\neq 0;}$
• grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego^[18].

• macierze odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała^[19] – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa^[20];
• macierze kwadratowe postaci^[21]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {R} ;}$
• macierze kwadratowe postaci^[17]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}(-1)^{a}&a\\0&(-1)^{a}\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {Z} ;}$
• macierze kwadratowe postaci^[16]: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {C} .}$

Grupy są też tworzone przez działania inne niż dodawanie, mnożenie liczb czy złożenie funkcji, choć te inne działania też bywają nazywane sumą:

• liczby całkowite ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ z działaniem^[21]: ${\displaystyle a\oplus b=(-1)^{a}a+(-1)^{b}b;}$
• przedział otwarty ${\displaystyle (1;+\infty )}$ z działaniem^[22]: ${\displaystyle a*b=ab-a-b+2;}$
• podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej^[23][17] ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ).}$

• Grupa czwórkowa Kleina
• Grupa modularna
• Grupa obrotów
  • Grupa SO(2)
• Symetria unitarna
  • Specjalna grupa unitarna
  • Grupa SU(2)
• Grupa kwaternionów
• Grupa Galileusza
• Grupa Poincarégo
  • Grupa Lorentza
• Grupa Heisenberga
• Grupa Mathieu
• Grupa monstrum
• Grupa Prüfera

• Maciej Bryński, Jerzy Jurkiewicz: Zbiór zadań z algebry. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-06575-3.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.