Wczesne formy algebry zostały opracowane przez Babilończyków i Greków.
Korzenie algebry sięgają czasów matematyków babilońskich, którzy opracowali zaawansowany system arytmetyczny, pozwalający na wykonywanie obliczeń w sposób algorytmiczny. Babilończycy wynaleźli wzory, przy pomocy których można było rozwiązywać problemy rozwiązywane dziś poprzez równania liniowe czy kwadratowe. Z kolei większość matematyków egipskich tej epoki, podobnie jak matematycy greccy czy chińscy w I tysiącleciu przed narodzeniem Chrystusa, zazwyczaj rozwiązywało takie równania metodami geometrycznymi, takimi jak te opisane w Papirusie Matematycznym Rhinda oraz Elementach Euklidesa. Prace Greków nad geometrią zapisane w Elementach, zapewniły podstawę do generalizacji formuł rozwiązań konkretnych problemów i użycia ich do rozwiązywania tych bardziej ogólnych systemów przedstawiania i rozwiązywania równań, jednak nie zdawano sobie z tego sprawy, aż do rozwinięcia się matematyki w średniowiecznym Islamie.
Przed czasami Platona, grecka matematyka przeszła drastyczną zmianę. Grecy stworzyli algebrę geometryczną, gdzie wyrazy algebraiczne były przedstawiane za pomocą boków obiektów geometrycznych, zazwyczaj prostych, podpisanych literami. Diofantos był greckim matematykiem z Aleksandrii oraz autorem serii ksiąg Arytmetyka, które opisują rozwiązywania równań algebraicznych i doprowadziły do współczesnej postaci równania diofantycznego w teorii liczb.
Hellenistyczni matematycy Heron i Diofantos, podobnie jak indyjscy tacy jak Brahmagupta kontynuowali tradycje Egiptu i Babilonu, mimo iż Arytmetyka Diofantosa i Brahmagupty Brahmasphutasiddhanta były na znacznie wyższym poziomie. Dla przykładu, pierwsze kompletne rozwiązanie arytmetyczne (zawierające zero i rozwiązania ujemne) równania kwadratowego zostało opisane przez Brahmagupta w jego książce Brahmasphutasiddhanta. Później, Perscy i arabscy matematycy stworzyli znacznie bardziej wyszukane metody algebraiczne. Pomimo iż Diofantus i matematycy babilońscy w dużej mierze używali metod ad hoc do rozwiązywania równań, wkład Al-Khwarizmiego był fundamentalny. Rozwiązywał on równania liniowe i kwadratowe bez użycia symboli algebraicznych, liczb ujemnych czy zera, a więc w konsekwencji wyróżnił kilka typów równań.
Indie i Chiny
Indyjscy matematycy Mahavira i Bhaskara II, perski Al-Karaji i chiński Zhu Shijie rozwiązali różne przypadki równań wielomianowych trzeciego, czwartego, piątego i wyższych stopni z wykorzystaniem metod numerycznych[potrzebny przypis].
Świat islamski i średniowieczna Europa
Wcześniejsze tradycje opisane wyżej miały bezpośredni wpływ na Muḥammada ibn Mūsā al-Khwārizmīego, słynnego perskiego muzułmańskiego matematyka urodzonego w Chorezmie w Uzbekistanie. Napisał on później al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal (Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie), która sprawiła, że algebra stała się działem matematyki niezależnym od arytmetyki i geometrii. Słowo algebra (arab. الجبر, al-dżabr) oznacza dosłownie „przywrócenie” i pochodzi z tej właśnie książki. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī działał najprężniej pod Al-Ma’moun w Bagdadzie w okresie 813-833 r., a zmarł około 840 r. Książka została przywieziona do Europy i przetłumaczona na łacinę w XII wieku. Następnie otrzymała nazwę „Algebra”. Zakończenie nazwiska matematyka: al-Khwārizmī zostało zlatynizowane na łatwiejsze do wypowiedzenia po łacinie "Algorizmi"[5], od którego wzięło się słowo algorytm. Wspomniani już wcześniej grecki matematyk Diofantos oraz al-Khwārizmī uważani są za „ojców algebry”.
Innemu perskiemu matematykowi Omarowi Khayyamowi przypisuje się określenie podstawy geometrii algebraicznej i znalezienie rozwiązania ogólnego równania geometrycznego sześciennego. Jeszcze inny perski matematyk, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, znalazł algebraiczne rozwiązania numeryczne do różnych przypadków równań sześciennych. On także rozwinął koncepcję funkcji.
W XIII w. rozwiązanie równania sześciennego przez Fibonacciego było początkiem ożywienia w europejskiej algebrze. Tutaj algebra rozwijała się bardzo szybko.
Pomysł wyznacznika został opracowany przez japońskiego matematyka Kowa Sekiego w wieku XVII, co niezależnie kontynuował Gottfried Leibniz 10 lat później w rozwiązywaniu układów równań liniowych z wykorzystaniem macierzy.
XX stulecie przyniosło znaczące wyniki w teorii grup skończonych. Udowodniono między innymi twierdzenie Feita-Thompsona o rozwiązalności oraz ukończono klasyfikację skończonych grup prostych, m.in. dzięki opisaniu nowych obiektów jak grupa monstrum.
Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – autor metody systematycznego wyprowadzania wzorów na miejsca zerowe wielomianów (rezolwenta); pionier użycia permutacji w algebrze;