Parabola

Dalam matematika, parabola adalah kurva bidang yang simetris cermin dan kira-kira berbentuk U. Ini cocok dengan beberapa deskripsi matematis lain yang berbeda, yang semuanya dapat dibuktikan untuk mendefinisikan kurva yang persis sama.

Satu deskripsi parabola melibatkan titik (fokus) dan garis (directrix). Fokusnya tidak terletak pada directrix. Parabola adalah tempat titik-titik di bidang itu yang berjarak sama jauh dari kedua directrix dan fokus. Deskripsi lain tentang parabola adalah sebagai bagian kerucut, dibuat dari persimpangan permukaan kerucut lingkaran kanan dan bidang yang sejajar dengan bidang lain yang bersinggungan dengan permukaan kerucut.^[1]

Garis tegak lurus terhadap directrix dan melewati fokus (yaitu, garis yang membagi parabola melalui tengah) disebut "sumbu simetri". Titik di mana parabola memotong sumbu simetri disebut "Vertex" dan merupakan titik di mana parabola melengkung paling tajam. Jarak antara titik dan fokus, diukur sepanjang sumbu simetri, adalah "panjang fokus". "Latus rectum" adalah chord parabola yang sejajar dengan directrix dan melewati fokus. Parabola dapat membuka ke atas, ke bawah, ke kiri, ke kanan, atau ke arah sewenang-wenang lainnya. Parabola apa pun dapat diposisikan ulang dan disusun kembali agar sesuai dengan parabola lainnya — yaitu, semua parabola memiliki kesamaan geometris.

Parabola memiliki sifat bahwa, jika terbuat dari bahan yang memantulkan cahaya, maka cahaya yang bergerak sejajar dengan sumbu simetri parabola dan menyerang sisi cekungnya dipantulkan ke fokusnya, terlepas dari di mana pada parabola pantulan itu terjadi. Sebaliknya, cahaya yang berasal dari sumber titik pada fokus dipantulkan menjadi sinar paralel ("berkolusi"), meninggalkan parabola sejajar dengan sumbu simetri. Efek yang sama terjadi dengan suara dan gelombang lainnya. Properti reflektif ini adalah dasar dari banyak penggunaan praktis parabola.

Karya paling awal yang diketahui pada bagian kerucut oleh Menaechmus pada abad ke-4 SM. Dia menemukan cara untuk memecahkan masalah menggandakan kubus menggunakan parabola. (Namun, solusinya tidak memenuhi persyaratan konstruksi kompas-dan-sejajar.) Area yang dikelilingi oleh parabola dan segmen garis, yang disebut "segmen parabola", dihitung oleh Archimedes dengan metode penghabis di abad ke-3 SM, dalam bukunya The Quadrature of the Parabola. Nama "parabola" adalah karena Apollonius, yang menemukan banyak properti bagian kerucut. Ini berarti "aplikasi", merujuk pada konsep "aplikasi area", yang memiliki hubungan dengan kurva ini, seperti yang telah dibuktikan oleh Apollonius.^[2] Properti fokus-directrix parabola dan bagian kerucut lainnya adalah karena Pappus.

Galileo menunjukkan bahwa jalur proyektil mengikuti parabola, konsekuensi dari percepatan seragam karena gravitasi.

Gagasan bahwa reflektor parabola dapat menghasilkan gambar sudah terkenal sebelum penemuan teleskop pemantul.^[3] Desain diusulkan pada awal hingga pertengahan abad ke-17 oleh banyak ahli matematika, termasuk René Descartes, Marin Mersenne,^[4] dan James Gregory.^[5] Ketika Isaac Newton membangun teleskop pemantul pertama pada tahun 1668, ia melewatkan menggunakan cermin parabola karena kesulitan fabrikasi, memilih untuk cermin bulat. Cermin parabola digunakan di sebagian besar teleskop refleksi modern dan di piring satelit dan penerima radar.^[6]

Parabola dapat didefinisikan secara geometris sebagai seperangkat titik (titik locus) dalam bidang Euclidean:

• Parabola adalah seperangkat poin, sehingga untuk setiap titik ${\displaystyle P}$ dari pengaturan jarak ${\displaystyle |PF|}$ ke titik tetap ${\displaystyle F}$, fokus , sama dengan jarak ${\displaystyle |Pl|}$ ke saluran tetap ${\displaystyle l}$, directrix :

${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}.}$

Titik tengah ${\displaystyle V}$ dari tegak lurus dari fokus ${\displaystyle F}$ ke directrix ${\displaystyle l}$ disebut vertex (puncak) , dan garis ${\displaystyle FV}$ adalah sumbu simetri dari parabola.

Jika satu menghasilkan koordinat Cartesian, sedemikian rupa ${\displaystyle F=(0,f),\ f>0,}$ dan directrix memiliki persamaan ${\displaystyle y=-f}$, satu memperoleh titik ${\displaystyle P=(x,y)}$ dari ${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$ persamaan ${\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$. Menyelesaikan hasil ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$

Parabola ini berbentuk U (bukaan ke atas).

Akor horisontal melalui fokus (lihat gambar di bagian pembukaan) disebut rektum latus; setengahnya adalah rektum semi-latus. Rektum latus sejajar dengan directrix. Rektum semi-latus ditunjuk oleh huruf ${\displaystyle p}$ itu. Dari gambar yang didapat

${\displaystyle p=2f.}$

Rektum latus didefinisikan sama untuk dua kerucut lainnya - elips dan hiperbola. Latus rektum adalah garis yang ditarik melalui fokus bagian kerucut yang sejajar dengan directrix dan diakhiri dengan kurva. Bagaimanapun, ${\displaystyle p}$ adalah jari-jari lingkaran osculating pada vertex. Untuk parabola, rektum semi-latus, ${\displaystyle p}$,adalah jarak fokus dari directrix. Menggunakan parameter ${\displaystyle p}$, persamaan parabola dapat ditulis ulang sebagai

${\displaystyle x^{2}=2py.}$

Lebih umum, jika verteksnya ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$, Fokusnya ${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$, dan directrixnya ${\displaystyle y=v_{2}-f}$, satu memperoleh persamaan

${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$

1. Jika dalam kasus ${\displaystyle f<0}$ parabola memiliki celah ke bawah.
2. Anggapan bahwa poros itu sejajar dengan sumbu y memungkinkan seseorang untuk mempertimbangkan parabola sebagai grafik polinomial derajat 2, dan sebaliknya: grafik polinomial sembarang derajat 2 adalah parabola (lihat bagian berikutnya).
3. Jika salah satu bertukar ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, salah satunya memperoleh persamaan bentuk ${\displaystyle y^{2}=2px}$. Parabola ini terbuka ke kiri (jika ${\displaystyle p<0}$) atau ke kanan (jika ${\displaystyle p>0}$).

Jika fokusnya adalah ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$, dan directrixnya ${\displaystyle ax+by+c=0}$, kemudian salah satunya memperoleh persamaan

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$

(sisi kiri persamaan menggunakan garis bentuk normal Hesse untuk menghitung jarak ${\displaystyle |Pl|}$).

Untuk persamaan parametrik parabola pada posisi umum, lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola

Persamaan implisit dari parabola didefinisikan oleh polinomial tak tereduksi derajat dua:

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$

seperti yang ${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ atau, ekuivalen, sedemikian rupa sehingga ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ adalah kuadrat dari polinomial linier.

Bagian sebelumnya menunjukkan bahwa parabola dengan titik asal sebagai sumbu dan sumbu y sebagai sumbu simetri dapat dianggap sebagai grafik suatu fungsi

${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ dengan }}a\neq 0.}$

Untuk ${\displaystyle a>0}$ parabola membuka ke atas, dan untuk ${\displaystyle a<0}$ membuka ke bawah (lihat gambar). Dari bagian di atas diperoleh:

• Fokusnya adalah${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$,
• Panjang fokusnya ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$, dan rektum semi-latusnya ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$,
• Verteksnya adalah ${\displaystyle (0,0)}$,
• Directrix memiliki persamaan ${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$,
• Singgung pada titik ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ memiliki persamaan ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$.

Untuk ${\displaystyle a=1}$ parabola adalah unit parabola dengan persamaan ${\displaystyle y=x^{2}}$. Fokusnya adalah ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$, rektum semi-latus ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$, dan directrix memiliki persamaan ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$.

Fungsi umum derajat 2 adalah:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c{\text{ dengan }}a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0}$.

Melengkapi hasil kuadrat

${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$

yang merupakan persamaan dari parabola dengan

• Sumbunya ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ (sejajar dengan sumbu y),
• panjang fokusnya ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$, rektum semi-latus ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$,
• verteksnya ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$,
• Fokusnya ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$,
• Directrixnya ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$,
• Titik parabola memotong sumbu y memiliki koordinat ${\displaystyle (0,c)}$,
• Garis singgung pada titik pada sumbu y memiliki persamaan ${\displaystyle y=bx+c}$.

Dua objek dalam bidang Euclidean serupa jika satu dapat ditransformasikan ke yang lain dengan kesamaan, yaitu, komposisi sewenang-wenang dari gerakan kaku (terjemahan dan rotasi) dan skala seragam.

Sebuah parabola ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dengan Vertex ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ dapat diubah dengan terjemahan ${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$ untuk satu dengan asal sebagai vertex. Rotasi yang sesuai di sekitar titik asal kemudian dapat mentransformasikan parabola menjadi yang memiliki sumbu y sebagai sumbu simetri. Karena itu parabola ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dapat ditransformasikan oleh gerakan kaku menjadi parabola dengan persamaan ${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$. Parabola seperti itu kemudian dapat diubah oleh penskalaan seragam${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$ ke dalam unit parabola dengan persamaan ${\displaystyle y=x^{2}}$. Dengan demikian, parabola apa pun dapat dipetakan ke unit parabola dengan kesamaan.^[7]

Pendekatan sintetis, menggunakan segitiga serupa, juga dapat digunakan untuk menetapkan hasil ini.^[8]

Hasil umum adalah bahwa dua bagian kerucut (tentu dari jenis yang sama) adalah serupa jika dan hanya jika mereka memiliki eksentrisitas yang sama.^[7] Oleh karena itu, hanya lingkaran (semua memiliki keeksentrikan 0) berbagi properti ini dengan parabola (semua memiliki keeksentrikan 1), sedangkan elips umum dan hiperbola tidak.

Ada transformasi affine sederhana lain yang memetakan parabola ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ke parabola unit, seperti ${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$. Tetapi pemetaan ini bukan kesamaan, dan hanya menunjukkan bahwa semua parabola setara setara (lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola).

Pensil bagian kerucut dengan sumbu x sebagai sumbu simetri, satu simpul pada titik asal (0, 0) dan rektum semi-latus yang sama ${\displaystyle p}$ dapat dinyatakan persamaan:

${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$

dengan ${\displaystyle e}$ keeksentrikan.

• Untuk ${\displaystyle e=0}$ kerucut adalah lingkaran (lingkaran hitung pensil),
• Untuk ${\displaystyle 0<e<1}$ sebuah elips,
• Untuk ${\displaystyle e=1}$ adalah parabola dengan persamaan ${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• Untuk ${\displaystyle e>1}$ sebuah hiperbola (lihat gambar).

Definisi lain dari parabola menggunakan transformasi affine:

• Parabola apa pun adalah citra afin dari unit parabola dengan persamaan ${\displaystyle y=x^{2}}$.

representasi parametrik

Transformasi affine dari bidang Euclidean memiliki bentuk ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, dimana ${\displaystyle A}$ adalah matriks reguler (penentu bukan 0), dan ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ adalah vektor yang berubah-ubah. Jika ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ adalah vektor kolom dari matriks ${\displaystyle A}$, unit parabola ${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$ dipetakan ke parabola

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$

Yang dimana:

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ adalah titik parabola,

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$ adalah vektor singgung pada titik ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$,

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ sejajar dengan sumbu parabola (sumbu simetri melalui titik).

Vertex

Secara umum, dua vektor ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ tidak tegak lurus, dan ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ bukan verteks, kecuali transformasi afin adalah kesamaan.

Vektor singgung pada titik ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ is ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$. Pada vertex vektor tangen adalah ortogonal ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$. Oleh karena itu parameternya ${\displaystyle t_{0}}$ verteks adalah solusi dari persamaan

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$

yang dimana:

${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$

dan Vertexnya adalah

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$

panjang fokus dan fokus

Panjang fokusnya dapat ditentukan oleh transformasi parameter yang sesuai (yang tidak mengubah bentuk geometris parabola). Panjang fokusnya adalah

${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$

Karenanya fokus parabola adalah

${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$

representasi tersirat

Memecahkan representasi parametrik untuk ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$oleh aturan Cramer dan menggunakan ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$, salah satunta mendapatkan representasi implisit

${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0}$.

parabola di luar angkasa

Definisi parabola di bagian ini memberikan representasi parametrik parabola yang sewenang-wenang, bahkan di ruang angkasa, jika ada yang memungkinkan. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ menjadi vektor dalam ruang.

Properti reflektif menyatakan bahwa jika parabola dapat memantulkan cahaya, maka cahaya yang masuk paralel dengan sumbu simetri dipantulkan ke arah fokus. Ini berasal dari optik geometris, berdasarkan pada asumsi bahwa cahaya bergerak dalam sinar. Dalam bukti berikut, fakta bahwa setiap titik pada parabola sama jauhnya dari fokus dan dari directrix diambil sebagai aksiomatik.

Pertimbangkan parabolanya y = x². Karena semua parabola serupa, kasing sederhana ini mewakili yang lain. Sisi kanan diagram menunjukkan bagian parabola ini.

Titik E adalah titik arbitrer pada parabola, dengan koordinat (x, x²). Fokusnya adalah F, simpulnya adalah A (asal), dan garis FA (sumbu y) adalah sumbu simetri. Garis EC sejajar dengan sumbu simetri dan memotong sumbu x pada D. Titik C terletak pada directrix (yang tidak ditampilkan, untuk meminimalkan kekacauan). Titik B adalah titik tengah segmen garis FC.

Diukur sepanjang sumbu simetri, simpul A berjarak sama dari fokus F dan dari directrix. Menurut teorema intersep, karena C ada di directrix, Kordinat y F dan C sama dalam nilai absolut dan berlawanan dalam tanda. B adalah titik tengah dari FC, jadi begitu kordinat y adalah nol, karena itu terletak pada sumbu x. Koordinat x-nya adalah setengah dari E, D, dan C, yaitu, x / 2. Kemiringan garis BE adalah hasil bagi dari panjang ED dan BD, yaitu x²x/2 = 2x. Tapi 2x juga merupakan kemiringan (turunan pertama) parabola di E. Oleh karena itu, garis BE adalah garis singgung parabola di E.

Jarak EF dan EC sama karena E ada di parabola, F adalah fokus dan C ada di directrix. Karena itu, karena B adalah titik tengah dari FC, segitiga △FEB dan △CEB adalah kongruen (tiga sisi), yang menyiratkan bahwa sudut ditandai α kongruen. (Sudut di atas E adalah sudut yang berlawanan secara vertikal ∠BEC.) Ini berarti bahwa sinar cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang sejajar dengan sumbu simetri akan dipantulkan oleh garis BE jadi itu bergerak sepanjang garis EF, seperti yang ditunjukkan dengan warna merah dalam diagram (dengan asumsi bahwa garis-garis entah bagaimana dapat memantulkan cahaya). Sejak BE adalah bersinggungan dengan parabola di E, refleksi yang sama akan dilakukan oleh busur parabola yang sangat kecil di E. Oleh karena itu, cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang berjalan paralel dengan sumbu simetri parabola tercermin oleh parabola menuju fokusnya.

Titik E tidak memiliki karakteristik khusus. Kesimpulan ini tentang cahaya yang dipantulkan berlaku untuk semua titik pada parabola, seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri diagram. Ini adalah properti reflektif.

Ada teorema lain yang dapat disimpulkan hanya dari argumen di atas.

Bukti di atas dan diagram yang menyertainya menunjukkan bahwa garis singgung BE membagi dua sudut ∠FEC. Pada kata lain, garis singgung pada parabola pada suatu titik membagi dua sudut antara garis yang menghubungkan titik dengan fokus dan tegak lurus terhadap directrix.

Karena segitiga △FBE dan △CBE adalah kongruen, FB adalah tegak lurus terhadap garis singgung BE. Karena B ada pada sumbu x, yang bersinggungan dengan parabola di verteksnya, maka titik persimpangan antara sembarang parabola dengan yang tegak lurus dari fokus ke tangen itu terletak pada garis yang bersinggungan dengan parabola pada verteksnya. Lihat diagram animasi^[9] dan kurva pedal.

Jika cahaya bergerak sepanjang garis CE, bergerak sejajar dengan sumbu simetri dan menyerang sisi cembung parabola di E. Jelas dari diagram di atas bahwa cahaya ini akan dipantulkan langsung dari fokus, di sepanjang perpanjangan segmen FE.

Bukti di atas sifat bisection reflektif dan tangen menggunakan garis kalkulus. Di sini bukti geometris disajikan.

Dalam diagram ini, F adalah fokus parabola, dan T dan U terletak pada directrix-nya. P adalah titik arbitrer pada parabola. PT adalah tegak lurus terhadap directrix, dan garis MP membagi dua sudut ∠FPT. Q adalah titik lain di parabola, dengan QU tegak lurus dengan directrix. Yang diketahui, FP = PT dan FQ = QU. Jelasnya, QT > QU, jadi QT > FQ. Semua titik pada garis-bagi MP sama dari F dan T, tetapi Q lebih dekat ke F daripada ke T. Ini berarti bahwa Q ada di sebelah kiri MP, yaitu, di sisi yang sama sebagai fokus. Hal yang sama akan benar jika Q terletak di tempat lain di parabola (kecuali pada titik P), sehingga seluruh parabola, kecuali titik P, berada di sisi fokus MP. Karena itu, MP adalah bersinggungan dengan parabola di P. Karena membagi dua sudut ∠FPT, ini membuktikan sifat membagi dua garis singgung.

Logika paragraf terakhir dapat diterapkan untuk memodifikasi bukti properti reflektif di atas. Ini secara efektif membuktikan garis BE menjadi bersinggungan dengan parabola di E jika sudut α adalah sama. Properti reflektif mengikuti seperti yang ditunjukkan sebelumnya.

Definisi parabola berdasarkan fokus dan directrix dapat digunakan untuk menggambarnya dengan bantuan pin dan string:^[10]

1. Pilih fokusnya ${\displaystyle F}$ dan directrixnya ${\displaystyle l}$ dari parabola.
2. Ambil segitiga dari satu set persegi dan siapkan string dengan panjang ${\displaystyle |AB|}$ (lihat diagram).
3. Pin salah satu ujung tali pada titik ${\displaystyle A}$ dari segitiga dan yang lainnya untuk fokus ${\displaystyle F}$.
4. Posisikan segitiga sedemikian rupa sehingga ujung kedua dari sudut kanan bebas untuk membuat garis di sepanjang directrix.
5. Ambil pena dan pegang talinya erat-erat ke segitiga.
6. Sementara menggerakkan segitiga di sepanjang directrix, pena menggambar busur parabola, karena${\displaystyle |PF|=|PB|}$ (lihat definisi parabola).

Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai f. Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah 2f, dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada a 45° derajat.^[11]:p.26

Jika dua garis singgung parabola saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.

Biarkan tiga garis singgung ke parabola membentuk segitiga. Kemudian Teorema Lambert menyatakan bahwa fokus parabola terletak pada lingkaran dari segitiga.^{[12][13]:Corollary 20}

Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.^[13]

Kurva Bézier kuadratik adalah kurva ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ didefinisikan oleh tiga poin ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ dan ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$, disebut titik kontrol:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\&=({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})t^{2}+(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1})t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$

Kurva ini adalah busur parabola (Lihat § Seperti gambar affine dari unit parabola).

Dalam satu metode integrasi numerik salah satunya mengganti grafik fungsi dengan busur parabola dan mengintegrasikan busur parabola. Parabola ditentukan oleh tiga poin. Rumus untuk satu busur adalah.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$

Metode ini disebut aturan Simpson.

Jika suatu titik X terletak pada parabola dengan panjang fokus f, dan jika p adalah jarak tegak lurus dari X ke sumbu simetri parabola, maka panjang busur parabola yang berakhir pada X dapat dihitung dari f dan p sebagai berikut, dengan asumsi mereka semua dinyatakan dalam unit yang sama.^[a]

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$

Jumlah s ini adalah panjang busur antara X dan puncak parabola.

Panjang busur antara X dan titik berlawanan secara simetris di sisi lain parabola adalah 2s.

Jarak tegak lurus p dapat diberi tanda positif atau negatif untuk menunjukkan pada sisi mana sumbu simetri X berada. Membalik tanda p membalikkan tanda-tanda h dan s tanpa mengubah nilai absolut mereka. Jika jumlah-jumlah ini ditetapkan, panjang busur antara dua titik pada parabola selalu ditunjukkan oleh perbedaan antara nilai mereka dari s. Perhitungan dapat disederhanakan dengan menggunakan properti logaritma:

${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$

Ini dapat berguna, misalnya, dalam menghitung ukuran bahan yang dibutuhkan untuk membuat reflektor parabola atau palung parabola.

Perhitungan ini dapat digunakan untuk parabola dalam orientasi apa pun. Ini tidak terbatas pada situasi di mana sumbu simetri sejajar dengan sumbu y.

Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai f. Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah 2f, dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada sudut a 45° .^[11]:p.26

Jika dua garis singgung pada sebuah parabola adalah saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.

Biarkan tiga garis singgung ke parabola saling tegak lurus. Kemudian Teorema Lambert menyatakavn bahwa fokus parabola terletak pada circumcircle of the triangle.^{[12][14]:Corollary 20}

Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.^[15]

Panjang fokus parabola adalah setengah dari jari-jari kelengkungan di puncaknya.

Bukti

• 
  Gambar terbalik. AB adalah sudut x. C adalah asal. O adalah pusat. A adalah (x, y). OA = OC = R. PA = x. CP = y. OP = (R − y). Titik dan garis lain tidak relevan untuk tujuan ini.
• 
  Jari-jari kelengkungan di puncak adalah dua kali panjang fokus. Pengukuran yang ditunjukkan pada diagram di atas adalah dalam satuan rektum latus, yang empat kali panjang fokus.
• 

Pertimbangkan sebuah titik (x, y) pada lingkaran jari-jari R dan dengan pusat di titik (0, R). Lingkaran melewati titik asal. Jika titiknya dekat dengan asal, teorema Pythagoras menunjukkan itu:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$

Tapi jika (x, y) sangat dekat dengan titik asal, karena sumbu x adalah garis singgung ke lingkaran, y sangat kecil dibandingkan dengan x, jadi y² diabaikan dibandingkan dengan ketentuan lainnya. Karena itu, sangat dekat dengan asalnya

${\displaystyle x^{2}=2Ry.}$ (1)

Bandingkan ini dengan parabola

${\displaystyle x^{2}=4fy,}$ (2)

yang memiliki simpul pada titik awalnya, terbuka ke atas, dan memiliki panjang fokus f (lihat bagian sebelumnya dari artikel ini).

Persamaan (1) dan (2) adalah setara jika R = 2f. Oleh karena itu, ini adalah kondisi untuk lingkaran dan parabola bertepatan dan sangat dekat dengan asal. Jari-jari kelengkungan pada titik asal, yang merupakan puncak (Vertex) parabola, adalah dua kali panjang fokus.

Kuadrik berikut berisi parabola sebagai bagian bidang:

• kerucut elips,
• silinder parabola,
• paraboloid elips,
• paraboloid hiperbolik,
• hiperboloid satu lembar,
• hiperboloid dua lembar.

• 
  Kerucut elips
• 
  Silinder parabola
• 
  Paraboloid berbentuk bulat panjang
• 
  Paraboloid hiperbolik
• 
  Hiperboloid satu lembar
• 
  Hiperboloid dua lembar

Parabola dapat digunakan sebagai trisectrix, yang memungkinkan pemotongan tepat dari sudut arbitari dengan penggaris-sejajar dan kompas. Ini tidak bertentangan dengan ketidakmungkinan pemotongan sudut dengan konstruksi kompas dan garis lurus saja, karena penggunaan parabola tidak diperbolehkan dalam aturan klasik untuk konstruksi kompas dan garis lurus.

Untuk trisect ${\displaystyle \angle AOB}$, sebagai kakinya ${\displaystyle OB}$ pada sumbu x sedemikian rupa sehingga vertex ${\displaystyle O}$ berasal dari sistem koordinat asal. Sistem koordinat juga mengandung parabola ${\displaystyle y=2x^{2}}$. Unit lingkaran dengan jari-jari 1 di sekitar titik asal memotong kaki sudut lainnya ${\displaystyle OA}$, dan dari titik persimpangan ini tarik garis tegak lurus ke sumbu y. Paralel dengan sumbu y melalui titik tengah tegak lurus dan garis singgung pada satuan lingkaran di ${\displaystyle (0,1)}$ berpotongan di ${\displaystyle C}$. Lingkaran di sekitar ${\displaystyle C}$ dengan jari-jari ${\displaystyle OC}$ memotong parabola di ${\displaystyle P_{1}}$. Yang tegak lurus dari ${\displaystyle P_{1}}$ ke sumbu x memotong unit lingkaran di ${\displaystyle P_{2}}$, dan ${\displaystyle \angle P_{2}OB}$ tepat sepertiga dari ${\displaystyle \angle AOB}$.

Ketepatan konstruksi ini dapat dilihat dengan menunjukkan bahwa koordinat x ${\displaystyle P_{1}}$ adalah ${\displaystyle \cos(\alpha )}$. Memecahkan sistem persamaan yang diberikan oleh lingkaran di sekitar ${\displaystyle C}$ dan parabola mengarah ke persamaan kubik ${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$. Formula triple-sudut ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$ kemudian menunjukkan bahwa ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ adalah memang solusi dari persamaan kubik itu.

Pembagian atas tiga bagian ini (trisection) kembali ke René Descartes, yang menggambarkannya dalam bukunya La Géométrie (1637).^[16]

1. ^ In this calculation, the square root q must be positive. The quantity ln a is the natural logarithm of a.

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Parabolas.

• Apollonius' Derivation of the Parabola di
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Parabola". MathWorld. 
• Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
• Parabolic Mirror at cut-the-knot
• Three Parabola Tangents at cut-the-knot
• Module for the Tangent Parabola
• Focal Properties of Parabola di cut-the-knot
• Parabola As Envelope II di cut-the-knot
• The similarity of parabola Diarsipkan 2011-07-18 di Wayback Machine. at Dynamic Geometry Sketches Diarsipkan 2009-03-21 di Wayback Machine.
• a method of drawing a parabola with string and tacks Diarsipkan 2010-09-01 di Wayback Machine.

1. ^ Bidang tangensial hanya menyentuh permukaan kerucut di sepanjang garis, yang melewati puncak kerucut.
2. ^ "Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? - Deriving the Symptom of the Parabola Mathematical Association of America". www.maa.org. Diakses tanggal 2020-05-27. 
3. ^ Wilson, Raymond N. (2007-11-07). Reflecting Telescope Optics I: Basic Design Theory and its Historical Development (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-76581-3. 
4. ^ Watson, Fred (2007). Ian Stargazer: The Life and Times of the Telescope (dalam bahasa Inggris). Allen & Unwin. ISBN 978-1-74176-392-8. 
5. ^ Watson, Fred (2007). Ian Stargazer: The Life and Times of the Telescope (dalam bahasa Inggris). Allen & Unwin. ISBN 978-1-74176-392-8. 
6. ^ "Spherical Mirrors". farside.ph.utexas.edu. Diakses tanggal 2020-05-27. 
7. ^ ^{a b} Kumpel, P. G. (1975), "Do similar figures always have the same shape?", The Mathematics Teacher, 68 (8): 626–628, ISSN 0025-5769 .
8. ^ Shriki, Atara; David, Hamatal (2011), "Similarity of Parabolas – A Geometrical Perspective", Learning and Teaching Mathematics, 11: 29–34 .
9. ^ Tsukerman, Emmanuel (2013). "On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas" (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197–208. 
10. ^ Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, p. 334.
11. ^ ^{a b} Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing. ^{[tanpa ISBN]}
12. ^ ^{a b} Sondow, Jonathan (2013). "The parbelos, a parabolic analog of the arbelos". American Mathematical Monthly. 120: 929–935. arXiv:1210.2279 . doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. 
13. ^ ^{a b} Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama ET2
14. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama ET3
15. ^ Tsukerman, Emmanuel (2014). "Solution of Sondow's problem: a synthetic proof of the tangency property of the parbelos". American Mathematical Monthly. 121: 438–443. arXiv:1210.5580 . doi:10.4169/amer.math.monthly.121.05.438. 
16. ^ Yates, Robert C. (1941). "The Trisection Problem". National Mathematics Magazine. 15 (4): 191–202. JSTOR 3028133.