Verschil (wiskunde)

Verschil (rood) (relatief complement) van twee verzamelingen

Symmetrisch verschil (rood) van twee verzamelingen

de verschilvector ${\displaystyle a-b}$ (zwart) van de vectoren ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$

In de rekenkunde, die een onderdeel vormt van de wiskunde, verstaat men onder het verschil van twee getallen, bijvoorbeeld ${\displaystyle 5}$ en ${\displaystyle 10}$, de twee mogelijke resultaten van de aftrekking van de beide getallen van elkaar: ${\displaystyle 10-5=5}$, respectievelijk ${\displaystyle 5-10=-5}$. In de bredere wiskunde kent het begrip meerdere toepassingen.

Verzamelingenleer

In de verzamelingenleer is het verschil van de verzameling ${\displaystyle A}$ en de verzameling ${\displaystyle B}$, genoteerd als ${\displaystyle A\setminus B}$ of ${\displaystyle A-B}$, zelf ook weer een verzameling, namelijk de verzameling die de elementen bevat die wel in ${\displaystyle A}$ maar niet in ${\displaystyle B}$ zitten. Men zegt ook ${\displaystyle A}$ met daaruit weggelaten ${\displaystyle B}$. In formule:

${\displaystyle A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}}$

Als, bijvoorbeeld, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ en ${\displaystyle B=\{1,3,2\}}$, dan is het verschil van ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ de verzameling ${\displaystyle A\setminus B=\{4\}}$. De verschilverzameling ${\displaystyle A\setminus B}$ is een deelverzameling van ${\displaystyle A}$. Zoals in de rekenkunde het verschil van twee identieke getallen gelijk aan nul is: ${\displaystyle 10-10=0}$, is het verschil van een verzameling met zichzelf, gelijk aan de zogenaamde lege verzameling: ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$.

Met het symmetrisch verschil ${\displaystyle A\Delta B}$ wordt in de verzamelingenleer de verzameling aangeduid van elementen die wel in de vereniging ${\displaystyle A\cup B}$ van ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ zitten, maar niet in de doorsnede ${\displaystyle A\cap B}$. Er geldt dus:

${\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Algebra

In wiskundige structuren, bijvoorbeeld groepen waarin een optelling tussen elementen gedefinieerd is, en er bij elk element ${\displaystyle a}$ een tegengestelde ${\displaystyle -a}$ bestaat, zodat ${\displaystyle a+(-a)=0}$, wordt de som ${\displaystyle b+(-a)}$ ook geschreven als ${\displaystyle b-a}$, en aangeduid als het verschil van de elementen ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle a}$.

Andere wiskundige toepassingen

Het begrip 'verschil' wordt in de wiskunde ook gebruikt bij het van elkaar aftrekken van complexe getallen, vectoren, polynomen, matrices.