Studentverdeling

De t-verdeling, ook wel studentverdeling genoemd (naar het pseudoniem "Student" van William Sealy Gosset), is een kansverdeling die is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van het geschaalde steekproefgemiddelde van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de toetsingsgrootheid ${\displaystyle T}$ van de t-toets. Als ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ een aselecte steekproef is uit een normale verdeling met verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$, dan is:

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

De verdeling van ${\displaystyle T}$ noemt men een t-verdeling met ${\displaystyle n-1}$ zogenaamde vrijheidsgraden.

Merk op dat ${\displaystyle T}$ sterk lijkt op het gestandaardiseerde steekproefgemiddelde ${\displaystyle {\bar {X}}}$:

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},}$

dat standaardnormaal verdeeld is, en waarin als het ware de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$ vervangen is door de steekproefstandaardafwijking ${\displaystyle S}$. Nu is

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle n-1}$ vrijheidsgraden, en zijn ${\displaystyle {\bar {X}}}$ en de steekproefvariantie ${\displaystyle S^{2}}$ onderling onafhankelijk. Daarom definieert men algemeen:

Definitie

De t-verdeling met ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden is de verdeling van de grootheid:

${\displaystyle T_{n}={\frac {Z}{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}}$,

waarin ${\displaystyle Z}$ en ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, respectievelijk standaardnormaal verdeeld en chi-kwadraatverdeeld met ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden.

Kansdichtheid

De grafiek van de kansdichtheid van de t-verdeling lijkt wat vorm betreft sterk op de standaardnormale verdeling, maar is wat 'breder'. Hoe kleiner het aantal vrijheidsgraden is, hoe 'breder' de grafiek van de kansdichtheid.

Voor ${\displaystyle n}$ vrijheidsgraden wordt deze kansdichtheid ${\displaystyle f_{n}}$ gegeven door:

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$

Daarin is ${\displaystyle \Gamma }$ de gammafunctie.

Grafiek van kansdichtheden van de Studentverdeling voor diverse aantallen vrijheidsgraden ${\displaystyle k}$. Voor de waarde infini (oneindig), d.w.z. in de limiet, komt de dichtheid overeen met een standaardnormale verdeling

Het bijzondere geval ${\displaystyle n=1}$ heet Cauchyverdeling.

De verwachtingswaarde bestaat voor ${\displaystyle n>1}$ en is gelijk aan 0. De variantie bestaat voor ${\displaystyle n>2}$ en is gelijk aan ${\displaystyle {\tfrac {n}{n-2}}}$.

Tabel van kritieke t-waarden

De onderstaande tabel geeft voor verschillende aantallen vrijheidsgraden ${\displaystyle \nu }$ en een aantal rechter overschrijdingskansen ${\displaystyle \alpha }$, de bijbehorende kritieke waarde ${\displaystyle t_{\alpha ,\nu }}$, volgens:

${\displaystyle P(T_{\nu }\geq t_{\alpha ,\nu })=\alpha }$

waarin ${\displaystyle T_{\nu }}$ t-verdeeld is met ${\displaystyle \nu }$ vrijheidsgraden.

Voor grote aantallen vrijheidsgraden geeft de laatste rij van de tabel als benadering de kritieke waarden van de standaard normale verdeling, die beschouwd kunnen worden als de kritieke waarden bij oneindig veel vrijheidsgraden.

De waarden uit de tabel kunnen ook berekend worden met spreadsheets (Office Excel, OpenOffice Calc, etc.). De relevante spreadsheet functie is T.INV(α_2-zijdig,ν).

ν	α
	25%	20%	15%	10%	5%	2,5%	1%	0,5%	0,25%	0,1%	0,05%
1	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,71	31,82	63,66	127,3	318,3	636,6
2	0,816	1,061	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14,09	22,33	31,60
3	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10,21	12,92
4	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	7,173	8,610
5	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
7	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
8	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
9	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
10	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
11	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
12	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
13	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
14	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
15	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
17	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
18	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,174	3,579	3,883
20	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
21	0,686	0,859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,135	3,527	3,819
22	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
23	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,038	3,396	3,659
30	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
40	0,681	0,851	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
50	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	2,915	3,232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,195	3,416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	2,860	3,160	3,373
∞	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

Uit de tabel kunnen ook de kritieke waarden voor tweezijdige overschrijdingskansen worden afgelezen. Elke kolom correspondeert dan met een tweemaal zo grote overschrijdingskans.