Partiële functie

Partiële functie ${\displaystyle X\rightharpoonup Y}$ die geen totale functie is

Partiële functie ${\displaystyle X\rightharpoonup Y}$ die wel een totale functie is

In de wiskunde wordt een functie die op een deel van een verzameling ${\displaystyle X}$ gedefinieerd is, een partiële functie op ${\displaystyle X}$ genoemd. Een partiële functie is niet noodzakelijk voor alle elementen van ${\displaystyle X}$ gedefinieerd.

Zo is het omgekeerde ${\displaystyle 1/x}$ van een getal ${\displaystyle x}$ niet gedefinieerd voor 0 en dus niet voor alle gehele getallen, en daarom slechts een partiële functie op alle gehele getallen.

Definitie

Een partiële functie ${\displaystyle f}$ is een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ die geen element van ${\displaystyle X}$ in verband brengt met meer dan één element van ${\displaystyle Y}$. Er kunnen dus elementen in ${\displaystyle X}$ zijn die niet door ${\displaystyle f}$ toegevoegd worden aan een element van ${\displaystyle Y}$.

Om aan te geven dat ${\displaystyle f}$ een partiële functie is, dus niet noodzakelijk op de hele verzameling ${\displaystyle X}$ is gedefinieerd, wordt ${\displaystyle f}$ genoteerd als:

${\displaystyle f\colon X\rightharpoonup Y}$

of alternatief als

${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y}$

${\displaystyle f\colon \subseteq X\to Y}$

${\displaystyle f\colon X\to _{p}Y}$

${\displaystyle f\colon X\rightarrowtail Y}$

De deelverzameling ${\displaystyle D\subseteq X}$ van elementen die in relatie staan met een element van ${\displaystyle Y}$, wordt het domein van ${\displaystyle f}$ genoemd en de verzameling ${\displaystyle Y}$ het codomein. De verzameling ${\displaystyle X}$ wordt wel aangeduid als bron(verzameling) en ${\displaystyle Y}$ in dat verband als doel(verzameling). Als het domein ${\displaystyle D}$ gelijk is aan ${\displaystyle X}$, zodat elk element van ${\displaystyle X}$ geassocieerd is met precies één element uit het codomein, spreekt men eenvoudigweg van een functie of eventueel van een totale functie.

Voorbeelden

• de partiële functie ${\displaystyle g\colon \mathbb {Z} \rightsquigarrow \mathbb {Z} }$ op de gehele getallen gegeven door:

${\displaystyle g(n)={\sqrt {n}}}$

${\displaystyle g}$ is niet voor alle gehele ${\displaystyle n}$ gedefinieerd, maar alleen voor kwadraten.

• Zij ${\displaystyle R}$ de verzameling van alle oneindige rijen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle g\colon R\rightharpoonup \mathbb {R} }$ de tweeplaatsige relatie die aan een convergente rij de limiet toevoegt. ${\displaystyle g}$ is een partiële functie op ${\displaystyle R}$, omdat niet alle oneindige rijen convergeren.