Lineaire onafhankelijkheid

Binnen een vectorruimte ${\displaystyle V}$ over een lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle K}$ wordt een stelsel vectoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ aangeduid als lineair onafhankelijk of vrij, als geen van deze vectoren een lineaire combinatie is van de andere vectoren.

Definitie

De ${\displaystyle n}$ vectoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ in een vectorruimte over ${\displaystyle K}$ heten lineair onafhankelijk, indien de enige lineaire combinatie van deze vectoren die de nulvector oplevert, de triviale combinatie met alle coëfficiënten gelijk aan 0 is. Dat betekent dus dat voor willekeurige scalairen ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in K}$ geldt

${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\ldots +\alpha _{n}v_{n}=0}$ impliceert dat ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{n}=0}$.

Als de vectoren niet lineair onafhankelijk zijn, heten ze lineair afhankelijk.

De dimensie van de vectorruimte is gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren.

De definitie wordt uitgebreid naar een oneindig stelsel vectoren. Een oneindig stelsel heet lineair onafhankelijk, als elke eindige deelverzameling dat is.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Om na te gaan of de vectoren ${\displaystyle (1,0)}$ en ${\displaystyle (-1,2)}$ in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ lineair onafhankelijk zijn, stelt men een lineaire combinatie van de twee vectoren gelijk aan de nulvector:

${\displaystyle a(1,0)+b(-1,2)=(0,0)}$

Dan volgt

${\displaystyle a(1,0)+b(-1,2)=(a,0)+(-b,2b)=(a-b,2b)=(0,0),}$

zodat:

${\displaystyle a=0}$ en ${\displaystyle b=0}$.

Het blijkt dat de coëfficiënten ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ beide 0 moeten zijn; de vectoren zijn dus lineair onafhankelijk.

Voorbeeld 2

De vectoren ${\displaystyle (1,0,-2),(3,2,0)}$ en ${\displaystyle (4,2,-2)}$ in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ zijn lineair afhankelijk. Het is bijvoorbeeld mogelijk om elke vector uit te drukken als een lineaire combinatie van de overige twee. Zo is

${\displaystyle (4,2,-2)=(1,0,-2)+(3,2,0),}$

De vector

${\displaystyle (4,2,-2)}$ is dus afhankelijk van de andere twee.

Ook volgt dat

${\displaystyle (4,2,-2)-(1,0,-2)-(3,2,0)=0}$

De nulvector kan dus geschreven worden als een lineaire combinatie van de drie vectoren zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn.

Eigenschappen

• Een lege verzameling van vectoren is een lineair onafhankelijk stelsel.
• Een deelverzameling van een stel lineair onafhankelijke vectoren is wederom een lineair onafhankelijk stelsel.
• De vectoren in verzameling welke de nulvector bevat, zijn lineair afhankelijk.
• De vectoren in een geordende verzameling vectoren welke de nulvector niet bevat, zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als ze een vector bevat die een lineaire combinatie is van de vorige.
• Een enkele vector ongelijk aan de nulvector is trivialerwijze een lineair onafhankelijk stelsel.
• Als men een collectie vectoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}}$ van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als rijen plaatst in een matrix ${\displaystyle A}$, dan is de rang van ${\displaystyle A}$ gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren in die collectie.
• Gegeven twee collecties lineair onafhankelijke vectoren ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle D}$, beide in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ zo, dat ${\displaystyle C}$ minder vectoren bevat dan ${\displaystyle D}$, dan is er een vector in ${\displaystyle D}$ die toegevoegd kan worden aan ${\displaystyle C}$, zodat de vectoren in de nieuwe collectie nog steeds lineair onafhankelijk zijn.

(In de matroïdetheorie wordt een variant van bovenstaande eigenschappen als axioma's aangenomen, zodat onafhankelijkheid bestudeerd kan worden, zonder de structuur van een vectorruimte, overigens alleen voor het geval dat de hele verzameling objecten eindig is.)