Kepler-poinsot-lichaam

Kepler-poinsot-lichamen zijn de regelmatige sterveelvlakken, er zijn er vier van. Ze kunnen alle vier worden gezien als een sterveelvlak, waarvan de zijvlakken congruente regelmatige sterveelhoeken zijn, maar tegelijkertijd als een gewoon, maar concaaf veelvlak, waarvan de zijvlakken convexe veelhoeken zijn.

Gezien als een sterveelvlak hebben de vier lichamen rond ieder hoekpunt hetzelfde aantal vlakken, dus zijn met de vijf regelmatige veelvlakken vergelijken. Ze zijn eveneens zijvlaktransitief, ribbetransitief en hoekpunttransitief.

De vier kepler-poinsot-lichamen zijn:

• kleine sterdodecaëder met 12 pentagrammen als zijvlak, er komen er 5 bij elkaar in elk hoekpunt: dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben
• grote sterdodecaëder met 12 pentagrammen, 3 daarvan komen in elk hoekpunt bij elkaar: 12×5/3=20 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben
• grote icosaëder, uitgaande van de kleine sterdodecaëder, de zijvlakken zijn 20 driehoeken, 5 komen in elk hoekpunt bij elkaar: dus 20×3/5=12 hoekpunten en 20×3/2=30 ribben
• grote dodecaëder met 12 vijfhoeken, 5 in elk hoekpunt: dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben

Ze hebben alle vier de volledige icosahedrale symmetrie I_h. Het aantal ribben is steeds 30. Ze zijn twee aan twee elkaars duale veelvlak:[1] de kleine sterdodecaëder en de grote dodecaëder met eulerkarakteristiek −6 en de grote sterdodecaëder en grote icosaëder met karakteristiek 2.

• 
  kleine sterdodecaëder
• 
  grote sterdodecaëder
• 
  grote icosaëder
• 
  grote dodecaëder

Een enkel zijvlak heeft een rode rand om het zo gemakkelijker te kunnen identificeren.

literatuur

• (en) HSM Coxeter. Regular and semi-regular polytopes. I, december 1940. Mathematische Zeitschrift, 46, blz 380-407
• (en) HSM Coxeter. Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ), 1989. Elemente der Mathematik, 1989, 44, 2, blz 25-36. met een verwijzing naar de volledige tekst in het Göttinger Digitalisierungszentrum
• (en) I Lakatos. Proofs and Refutations, 1976. bediscussieert het bewijs van de eulerkarakteristiek

voetnoten

1. (en) Engelstalige Wikipedia. Kepler–Poinsot polyhedron, Summary. tabel