Jones-veelterm

Type I Reidemeister-beweging.

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

${\displaystyle t^{1/2}}$

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets

Stel wij hebben een georiënteerde schakel ${\displaystyle L}$, die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, ${\displaystyle V(L)}$ definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met ${\displaystyle \langle ~\rangle }$. Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele ${\displaystyle A}$ is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

waar ${\displaystyle w(L)}$ de kronkeling van ${\displaystyle L}$ in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen (${\displaystyle L_{+}}$ in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen (${\displaystyle L_{-}}$). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop ${\displaystyle \gamma }$ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ te berekenen, geassocieerd met ${\displaystyle \gamma }$, en de fundamentele representatie ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$.

Bronnen

• (en) Vaughan Jones, Universiteit van Californië - Berkeley, "The Jones Polynomial" (pdf), 18 augustus 2005.
• (en) MathWorld, Jones Polynomial.
• (en) Morwen Thistlethwaite, Universiteit van Tennessee, "Links with trivial Jones Polynomial" (pdf). Gearchiveerd op 27 september 2011.