Isoperimetrisch quotiënt

In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakken, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de 'buitenkant' en het 'binnenste' van een vorm. De maat is voor gelijkvormige figuren gelijk. Het gaat er bij het isoperimetrisch probleem om bij een gegeven omtrek of oppervlakte de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume te vinden. De cirkel is de vlakke, en de bol het lichaam die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Het isoperimetrisch quotiënt is voor alle figuren dus kleiner dan of gelijk aan 1; dat wordt de isoperimetrische ongelijkheid genoemd.

Het begrip isoperimeter is van het Grieks afgeleid en betekent gelijke omhullende afmetingen.

Definitie

Voor een vlakke figuur met oppervlakte ${\displaystyle A}$ en omtrek ${\displaystyle O}$ wordt het isoperimetrisch quotiënt ${\displaystyle IQ}$ gegeven door:

${\displaystyle IQ=4\pi {\frac {A}{O^{2}}}}$

Voor een ruimtelijke figuur met inhoud ${\displaystyle V}$ en oppervlakte ${\displaystyle A}$ wordt het isoperimetrisch quotiënt ${\displaystyle IQ}$ gegeven door:

${\displaystyle IQ=36\pi {\frac {V^{2}}{A^{3}}}}$

Eigenschappen

• Isoperimetrische ongelijkheid: voor alle figuren en lichamen is ${\displaystyle IQ\leq 1}$.
• Van gelijkvormige figuren is het isoperimetrisch quotiënt gelijk, aangezien de machten van de voor de afmetingen van het lichaam bepalende factor tegen elkaar wegvallen.
• Voor de cirkel en de bol is ${\displaystyle IQ({\text{cirkel}})=IQ({\text{bol}})=1}$.

Tabel

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het isoperimetrisch quotiënt, oplopend geordend. De genoemde, afnemende oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.

afgeknotte icosaëder

stompe dodecaëder

bol

Ruimtelijke figuur	Oppervlakte bij een inhoud van 1000	${\displaystyle IQ}$
viervlak	721	0,302
kegel met ${\displaystyle h=2r{\sqrt {2}}}$[1]	609	0,5[2]
kubus	600[2]	0,523
regelmatig achtvlak	572	0,605
cilinder ${\displaystyle h=2r}$	553	0,667
regelmatig twaalfvlak	531	0,755
regelmatig twintigvlak	515	0,829
afgeknotte icosaëder[3]	500[4]	0,903
stompe dodecaëder	492	0,947
bol	484	1[2]

1. kegelvorm met het hoogste isoperimetrisch quotiënt
2. exact
3. De afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder.
4. niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

• de gelijkzijdige driehoek
• het vierkant
• de regelmatige vijfhoek
• de regelmatige zeshoek

In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm^2.

vierkant

zeventienhoek

cirkel

Regelmatige veelhoek	Omtrek bij een oppervlakte van 1000	IQ
driehoek	144	0,605
vierkant	127	0,785
vijfhoek	121	0,865
zeshoek	118	0,907
achthoek	115	0,948
tienhoek	114	0,967
twaalfhoek	113	0,977
zeventienhoek	112,75	0,988
vierentwintighoek	112,42	0,994
cirkel	112	1

Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: "De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur." Dante Alighieri zei later over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura, De cirkel is het meest volmaakte figuur.