Dicyclische groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dicyclische groep een element van een klasse van groepen ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ met ${\displaystyle n>1}$, een niet-abelse groep met orde ${\displaystyle 4n}$, die een uitbreiding is van de cyclische groep van orde 2 met een cyclische groep van even orde ${\displaystyle 2n}$, wat de groep de naam di-cyclisch geeft. In de notatie van exacte rijen van groepen kan deze uitbreiding worden uitgedrukt als

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to \mathrm {Dic} _{n}\to C_{2}\to 1}$

Meer in het algemeen kan men, gegeven een abelse groep met een element van orde 2, een dicyclische groep definiëren.

Definitie

De dicyclische groep ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ met ${\displaystyle n>1}$ wordt voortgebracht door twee elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ die aan de volgende presentatie voldoen:

${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}=\langle a,b\mid a^{2n}=1,b^{2}=a^{n},b^{-1}ab=a^{-1}\rangle }$

Eigenschappen en voorbeelden

• Ieder element van ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ kan eenduidig worden geschreven als ${\displaystyle a^{k}b^{j}}$ met ${\displaystyle 0\leq k<2n}$ en ${\displaystyle j=0}$ of ${\displaystyle j=1}$.
• De orde van ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ is ${\displaystyle 4n}$.
• De dicyclische groep ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ heeft een cyclische ondergroep van de orde ${\displaystyle 2n}$ voortgebracht door het element ${\displaystyle a}$ en een cyclische ondergroep van de orde ${\displaystyle 4}$ voortgebracht door het element ${\displaystyle b}$. De ondergroep voortgebracht door ${\displaystyle a}$ heeft in ieder geval een ondergroep van de orde ${\displaystyle n}$ voortgebracht door ${\displaystyle a^{2}}$ en afhankelijk van de waarde van ${\displaystyle n}$ mogelijk nog andere ondergroepen. De ondergroep voortgebracht door ${\displaystyle b}$ heeft een ondergroep van de orde 2 voortgebracht door ${\displaystyle b^{2}}$.
• ${\displaystyle {\rm {Dic}}_{1}\cong \mathbf {V} _{4}}$, de viergroep van Klein
• ${\displaystyle {\rm {Dic}}_{2}\cong \mathbf {Q} }$, de quaternionengroep
• Er kunnen aan de hand van de relaties vastgelegd in de presentatie verschillende vermeningvuldigingsregels tussen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle a}$ worden bepaald, bijvoorbeeld

${\displaystyle b^{2}a^{k}=a^{k+n}=a^{k}b^{2}}$ en

${\displaystyle a^{k}b\,a^{m}b=a^{k-m+n}}$

Uitgewerkt voorbeeld

De groep ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}}$ bestaat uit de 12 elementen:

${\displaystyle 1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b}$

${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}}$ is isomorf met een ondergroep van de quaternionen, of kan worden voorgesteld door de keuze ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ en ${\displaystyle b=j}$. Er geldt immers:

${\displaystyle a^{3}=\left({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}={\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}={\tfrac {1}{8}}+i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}-{\tfrac {9}{8}}-i{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{8}}=-1}$

dus

${\displaystyle a^{6}=1}$

${\displaystyle b^{2}=-1=a^{3}}$

${\displaystyle b^{-1}a\,b=-j{\tfrac {1}{2}}j-ji{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}j={\tfrac {1}{2}}-i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}=\alpha ^{-1}}$