Coördinatenruimte

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ het ${\displaystyle n}$-voudige cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle F}$. De coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ bestaat uit de ${\displaystyle n}$-tupels, dus rijen van ${\displaystyle n}$ elementen, van ${\displaystyle F}$. De rijen van aftelbaar oneindig veel elementen van ${\displaystyle F}$ vormen ook een coördinatenruimte. Een coördinatenruimte is het voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

De reële coördinatenruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is een voorbeeld van een coördinatenruimte.

Definitie

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle F}$, zoals de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ en natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ wordt de ruimte ${\displaystyle F^{n}}$ van alle ${\displaystyle n}$-tupels van elementen van ${\displaystyle F}$ de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle F}$. Een element ${\displaystyle \mathbf {x} }$ van ${\displaystyle F}$ is een rij

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$,

waarin elke ${\displaystyle x_{i}}$ een element is van ${\displaystyle F}$. De ${\displaystyle n}$ elementen ${\displaystyle x_{i}}$ heten de kentallen van de vector ${\displaystyle \mathbf {x} }$. De ${\displaystyle n}$ vectoren ${\displaystyle x_{i}\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,x_{i},0,\ldots ,0)}$, waarin ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$ de ${\displaystyle i}$-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Een vector is de som van de componenten ervan:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}}$

Optellen en scalair vermenigvuldigen op ${\displaystyle F^{n}}$ zijn gedefinieerd door

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

en

${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}$

De nulvector is

${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\cdots ,0)}$

en de additieve inverse van de vector ${\displaystyle \mathbf {x} }$ wordt gegeven door

${\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\cdots ,-x_{n})}$

Alle ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn isomorf met elkaar.

Matrixnotatie

De elementen van de coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

of soms als rijvectoren:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}}$

De coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle ${\displaystyle n\times 1}$-kolomvectoren of alle ${\displaystyle 1\times n}$-rijvectoren, met daarbij de bewerkingen van optellen van matrices en de matrixvermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van ${\displaystyle F^{n}}$ naar ${\displaystyle F^{m}}$ kunnen dan worden geschreven als ${\displaystyle m\times n}$-matrices, die via linkervermenigvuldiging, wanneer de elementen van ${\displaystyle F^{n}}$ kolomvectoren zijn, of rechtervermenigvuldiging, als het rijvectoren zijn, inwerken op de elementen van ${\displaystyle F^{n}}$.

Standaardbasis

De coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)}$

waarin 1 de neutrale element voor de vermenigvuldiging in ${\displaystyle F}$ aanduidt.