Cilindercoördinaten

Punt ${\displaystyle P}$ in cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, gelijkend op het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Te vergelijken met poolcoördinaten vormen van een punt ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ de afstand ${\displaystyle r}$ tot de ${\displaystyle z}$-as en de hoek ${\displaystyle \theta }$ tussen de projectie van ${\displaystyle OP}$ op het ${\displaystyle xy}$-vlak en de positieve ${\displaystyle x}$-as de eerste twee coördinaten. De derde coördinaat wordt gegeven door ${\displaystyle z}$.

Het verband met de cartesische coördinaten ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle x=r\ \cos(\theta )}$

${\displaystyle y=r\ \sin(\theta )}$

De ${\displaystyle z}$-coördinaat is dezelfde in beide stelsels.

Om verwarring van de hier gebruikte ${\displaystyle r}$ en die bij bolcoördinaten te voorkomen wordt bij cilindercoördinaten ook wel ${\displaystyle \rho }$ gebruikt.

Het gebruik van cilindercoördinaten is, net als bij poolcoördinaten, handig als er bij een object sprake is van symmetrie rond een as, bijvoorbeeld een cilinder.

Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van de transformatie is:

${\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&0\\{\frac {-y}{r^{2}}}&{\frac {x}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Omgekeerd:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&r\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&-y&0\\{\frac {y}{r}}&x&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Vectorveld

Het is gebruikelijk een vectorveld

${\displaystyle F(x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}$

in poolcoördinaten te ontbinden in een component ${\displaystyle F_{r}}$ langs de poolstraal in het ${\displaystyle xy}$-vlak, een component ${\displaystyle F_{\theta }}$ loodrecht daarop in de richting van de hoek ${\displaystyle \theta }$ en als derde component ${\displaystyle F_{z}}$. Voor deze componenten geldt:

${\displaystyle F_{r}=\ F_{x}\cos(\theta )+F_{y}\sin(\theta )}$

${\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\theta )+F_{y}\cos(\theta )}$

Omgekeerd:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )}$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\theta )+F_{\theta }\cos(\theta )}$