Cas-functie

De cas-functie is een goniometrische functie die gebruikt wordt in de signaalanalyse, meer bepaald als kern van de Hartleytransformatie. Deze transformatie zet een reëel signaal om in een reële frequentie-afhankelijke functie, door een correlatie te berekenen met de cas-functie. De benaming cas is de afkorting van cosine and sine.

Definitie

De cas-functie (volle lijn) en zijn complement (stippellijn), beide gedurende één periode getekend.

De cas-functie is gedefinieerd als:

${\displaystyle \operatorname {cas} (\theta )=\cos(\theta )+\sin(\theta )}$

De hoek ${\displaystyle \theta }$ ontstaat in de praktijk als het product van een hoeksnelheid ${\displaystyle \omega }$ met de tijdsveranderlijke ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \theta =\omega t}$

De cas-functie is periodiek met periode ${\displaystyle 2\pi }$.

Door gebruik te maken van de basisregels van de goniometrie kan men deze functie ook schrijven als een zuivere cosinus of een zuivere sinus:

${\displaystyle \operatorname {cas} (\theta )={\sqrt {2}}\,\cos(\theta -{\tfrac {1}{4}}\pi )={\sqrt {2}}\,\sin(\theta +{\tfrac {1}{4}}\pi )}$

Het complement ${\displaystyle \operatorname {cas} ^{*}}$ van de cas-functie is:

${\displaystyle \operatorname {cas} ^{*}(\theta )=\operatorname {cas} (-\theta )=\cos(\theta )-\sin(\theta )}$

Deze functie is ook gelijk aan:

${\displaystyle \operatorname {cas} ^{*}(\theta )={\sqrt {2}}\,\cos(\theta +{\tfrac {1}{4}}\pi )=-{\sqrt {2}}\,\sin(\theta -{\tfrac {1}{4}}\pi )}$

Andere relaties met goniometrische functies

Som- en verschilformules:

${\displaystyle \operatorname {cas} (\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cdot \operatorname {cas} (\beta )+\sin(\alpha )\cdot \operatorname {cas} ^{*}(\beta )}$

${\displaystyle \operatorname {cas} (\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cdot \operatorname {cas} ^{*}(\beta )+\sin(\alpha )\cdot \operatorname {cas} (\beta )}$

Integraal en afgeleide

Afgeleide:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\theta }}\operatorname {cas} (\theta )=\operatorname {cas} (-\theta )=\operatorname {cas} ^{*}(\theta )}$

Integraal:

${\displaystyle \int \operatorname {cas} (\theta ){\rm {d}}t=-\operatorname {cas} (-\theta )=-\operatorname {cas} ^{*}(\theta )}$