രേഖീയ ബീജഗണിതം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Linear_Algebra

R^3 ദിശകളോടുകീടിയ ഒരു ത്രിമാന യുക്ലീഡിയൻ സ്ഥലം

രേഖീയ ബീജഗണിതം{Linear algebra} ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണു്. രേഖീയ ശ്രേണികളുടെ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതികളി ൽ നിന്നാണ് ഈ ശാഖയുടെ ഉദ്ഭവം. രേഖീയ സമീകരണങ്ങളുടെ ശ്രേണികകൾ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതികളി ൽ നിന്നാണ് ഈ ശാഖയുടെ ഉദ്ഭവം. അങ്ങന്നെയുള്ള സമീകരണങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായി മാട്രിക്സ്‌ഉം വെക്ടർഉം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം [1]. ശുദ്ധഗണിതത്തിന്റേയും, പ്രയുക്ത ഗണിതത്തിന്റേയും അടിസ്ഥാനമാണു് ഈ ശാഖ.

ചരിത്രം

ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ പഠനത്തോടെയാണ് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഉദ്ഭവമെന്ന് പറയാം. 1693-ൽ ഗൊട്ട് ഫ്രീഡ്‌ ലെയ്ബ്നിസ് ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, തുടർന്ന് 1750-ൽ ഗബ്രിയേൽ ക്രാമർ, ക്രാമർ നിയമം രൂപീകരിച്ചു. പിന്നീട് 1800കളുടെ തുടക്കത്തിൽ [2] കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് രേഖീയ ശ്രേണികളുടെ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യാനായി ഗോസ്സിയൻ എലിമിനേഷൻ രൂപീകരിച്ചു

ആശയങ്ങൾ

സദിശസമഷ്ടി

രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് സദിശസമഷ്ടിഅഥവാ വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ്(Vector space). ഇതിലെ അംഗങ്ങളാണ് സദിശങ്ങൾ (Vectors).ഏറ്റവും ലളിതമായ വെക്റ്റർ സ്പേയ്സുകളാണ് ദ്വിമാനവും (2Dimesion) ത്രിമാനവും(3Dimension). വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ് എന്നാൽ പ്രധാനസംകാരകങ്ങൾ സദിശസങ്കലനവും അദിശഗുണനവും ആയ ഒരു ഗണമാണ്.

F എന്ന രേഖീയസംഖ്യകളുടേയോ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടേയോ ഒരു ക്ഷേത്രത്തെ(Field) പരിഗണിക്കുക. ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ അദിശങ്ങളാണ്. F എന്ന ക്ഷേത്രത്തിൽ നിർവ്വചിക്കുന്ന വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ് എന്നാൽ സദിശസങ്കലനം, അദിശഗുണനം എന്നീ രണ്ട് സംകാരകങ്ങളടങ്ങിയ ഒരു ഗണമാണ്.

സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണങ്ങൾ

• സദിശസങ്കലനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v) + w.

• സദിശസങ്കലനം ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ v, w ∈ V, v + w = w + v.

• സദിശസങ്കലനത്തിൽ തൽസമകം 0 ആണ്.

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും 0 ∈ V,എങ്ങനെയെന്നാൽv + 0 = v

• സദിസസങ്കലനത്തിന് വിപരീത‌അംഗങ്ങൾ ഉണ്ട്

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും സങ്കലനവിപരീതം wഉണ്ട്.എങ്ങനെയെന്നാൽ v + w = 0.

• സദിശസങ്കലനത്തിൽ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a ∈ F യ്ക്കും v, w ∈ Vയ്ക്കും a (v + w) = a v + a w.

• ക്ഷേത്രസങ്കലനത്തിൽ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V,യ്ക്കും (a + b) v = a v + b v.

• അദിശക്ഷേത്രത്തിൽ അദിശഗുണനം സാദ്ധ്യമാണ്.

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V, a (b v) = (ab) v.

• അദിശഗുണനത്തിൽ 1 തൽസമകസംഖ്യയാണ്.

അവലംബം

1. Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. Retrieved 16 April 2012.
2. Vitulli, Marie. "A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory". Department of Mathematics. University of Oregon. Archived from the original on 2011-12-23. Retrieved 2012-01-24.