閉測地線

数学の微分幾何学および力学系の分野において、あるリーマン多様体上の閉測地線（へいそくちせん、英: closed geodesic）とは、その多様体上の測地流の閉軌道の射影のことを言う。

定義

リーマン多様体 (M,g) において閉測地線は、計量 g についての測地線であり、周期的であるような曲線 ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M}$ である。

閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。${\displaystyle \Lambda M}$ を M 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 ${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$ の臨界点である。

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

${\displaystyle \gamma }$ が周期 p の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ は周期 1 の閉測地線であり、したがって E の臨界点である。${\displaystyle \gamma }$ が E の臨界点であるなら、各 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ に対して ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$ で定義される曲線 ${\displaystyle \gamma ^{m}}$ も E の臨界点である。したがって、M 上のすべての閉測地線はエネルギー E の臨界点からなる無限列を生成する。

例

通常の円形リーマン計量を伴う単位球面 ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ 上のすべての大圏は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲曲面上で、閉測地線は、その曲面のフックス群（英語版）の元の非自明な共役類と一対一対応を持つ。

関連項目

• セルバーグ跡公式
• ゾール曲面（英語版）
• 測地線

参考文献

• Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed", Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
• Klingenberg, W.: "Lectures on closed geodesics", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6