超直方体

Hyperrectangle Orthotope
A rectangular cuboid is a 3-orthotope
Type	Prism
Facets	2n
Vertices	2^n
Schläfli symbol	{} × {} ... × {}[1]
Coxeter-Dynkin diagram	...
Symmetry group	[2^n−1], order 2^n
Dual	Rectangular n-fusil
Properties	convex, zonohedron, isogonal

幾何学における超直方体[2]（ちょうちょくほうたい、英：hyperrectangle, orthotope）とは、長方形や直方体をより高次元に一般化したものである。形式的には区間のデカルト積として定義される。

すべての辺の長さが等しい超直方体は超立方体と呼ばれる。また、超立方体は超多面体、特に平行超多面体（英語: parallelotope）の特別な場合である。

定義

${\displaystyle n\geq 1}$ とし、${\displaystyle a_{i},\,b_{i}}$ を ${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$ なる任意の実数 ${\displaystyle (i=1,\ldots ,n)}$ とするとき、$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\quad \left(=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\;(i=1,\ldots ,n)\right\}\right)}$$を（${\displaystyle n}$ 次元の）超直方体という。

タイプ

双対多面体

n-fusil
Example: 3-fusil
Facets	2n
Vertices	2^n
Schläfli symbol	{} + {} + ... + {}
Coxeter-Dynkin diagram	...
Symmetry group	[2^n−1], order 2^n
Dual	n-orthotope
Properties	convex, isotopal

n	Example image
1	{ }
2	{ } + { }
3	Rhombic 3-orthoplex inside 3-orthotope { } + { } + { }

脚注

1. N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p.251
2. Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover. pp. 122–123. ISBN 0-486-61480-8 

関連項目

• 象限
• 超立方体

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Rectangular parallelepiped". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Orthotope". mathworld.wolfram.com (英語).