マグマ （Magma）と群 （Group）の間の代数的構造 ：準群 （Quasigroup）はラテン方格性 による可除性（divisibility）を持つマグマである。ループ 単位元 （identity）を持つ準群である。なお、結合的 準群（Associative quasigroup）は空 でなければ必ず単位元を持ち群となる。数学 、特に抽象代数学 における準群 （じゅんぐん、英 : quasigroup ）[ 注釈 1] 除法 が常に可能であるという点で群 に似た代数的構造 である。ただし、準群は群と異なり結合律 と単位元 が必須ではない。単位元を持つ準群はループ （英: loop ）と呼ばれる。ループについてもこの記事で扱う。
準群には構造として同値 な少なくとも2通りの形式的定義が存在する。一つ目はラテン方格性を満たす1個の二項演算 を備えた集合として準群を定義し、二つ目は3個の原始的 （英語版 ） 普遍代数学 的に準群を定義する。ただし、前者の定義では（準群と限らないマグマへの）準同型 像 が必ずしも準群にならない。
準群 (Q , ∗) は、集合 Q と閉じた 二項演算 ∗ からなるマグマ で、ラテン方格性 （Latin square property）に従うものである。この性質は、任意の a , b ∈ Q x , y ∈ Q
a ∗ x = b y ∗ a = b 言い換えれば、積表 （英語版 ） ラテン方格 であることを保証する。x と y が一意的であるという要件は、このマグマが簡約可能 であるという要件に置き換えられる[ 2] [ 注釈 2]
これらの等式の一意解は x = a \ b y = b / a \ と / はそれぞれ左除法 （英語版 ） 右除法 （英語版 ） b が a 行 x 列成分として出現することを、後者の等式（右除法）は b が y 行 a 列成分として出現することを、それぞれ意味する。
空集合 と空関数 からなるマグマは準群の定義を満たすが、これを準群として認めるか否かは著者によって異なる。
何らかの代数的構造 が与えられたとき、恒等式 は暗黙裡に全ての変数が全称量化 され、全ての演算がその構造の適当な原始的演算である等式である。恒等式だけからなる公理系を満たす代数的構造のクラスはバラエティ と呼ばれる。普遍代数学 の多くの標準的な結果はバラエティについてのみ成り立つ。準群は左除法と右除法を原始的とするとバラエティをなす。
左準群 (Q , ∗, \) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。
x \ (x ∗ y ) = y x ∗ (x \ y ) = y 右準群 (Q , ∗, /) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。
(y ∗ x ) / x = y (y / x ) ∗ x = y 準群 (Q , ∗, \, /) は (2, 2, 2) 型の代数で上記4本の左準群および右準群の恒等式全てを満たすものである。
言い換えれば、同じ側で同じ元による乗法と除法を続けても、その順序によらず値は変わらない。
以上により、(Q , ∗) が先の節の定義における準群であるとき、(Q , ∗, \, /) は普遍代数学の意味での同じ準群である。逆も同様で、(Q , ∗, \, /) が普遍代数学の意味での準群であるとき、(Q , ∗) は最初の定義における準群である。
ループ （英: loop ）は単位元 を備えた準群である。すなわち、ある元（零項演算）e が存在して以下が成り立つものである。
全ての x ∈ Q x ∗ e = e ∗ x = x 単位元 e の存在は一意であり、Q のいずれの元も一意な左および右逆元 （必ずしも一致しない）を持つ。
冪等元 を備えた準群はpique （pointed idempotent quasigroup）とよばれる。これはループよりも弱い概念であるが、それでもなおありふれた概念であり、例えば、アーベル群 (A , +) が与えられたとき、その減法 を準群の乗法とすることで、群の単位元 0 を冪等元とする pique (A , −) を得る。つまり、主アイソトピー (x , y , z ) ↦ (x , −y , z ) が存在する。
ループは結合的 であれば群である。群は非結合的な pique との間にアイソトピーを持ちうるが、非結合的なループとの間にアイソトピーを持つことはない。
特別に名の付いている弱い結合律がある。
例えば、ボル・ループ （英語版 ）
x ∗ (y ∗ (x ∗ z )) = (x ∗ (y ∗ x )) ∗ z ((z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y ) ∗ x ) （右ボル・ループ）左かつ右ボル・ループであるときにはムーファン・ループ （moufang loop）と呼ばれる。これは、以下のムーファン恒等式の任意の一つと同値である。
x ∗ (y ∗ (x ∗ z )) = ((x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z z ∗ (x ∗ (y ∗ x )) = ((z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x (x ∗ y ) ∗ (z ∗ x ) = x ∗ ((y ∗ z ) ∗ x ) (x ∗ y ) ∗ (z ∗ x ) = (x ∗ (y ∗ z )) ∗ x
Smith (2007) は以下の重要な性質とサブクラスに名を与えた。
準群が半対称 （semi-symmetric）と呼ばれるのは以下の互いに同値な恒等式のいずれかが成立するときである[ 注釈 3]
x / y = y ∗ x y \ x = x ∗ y x = (y ∗ x ) ∗ y x = y ∗ (x ∗ y )このクラスは特別であるように見えるかもしれないが、どの準群 Q も以下の演算によって直積 Q 3 Q Δ
(x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ (y 1 , y 2 , y 3 ) = (y 3 / x 2 , y 1 \ x 3 , x 1 ∗ y 2 ) = (x 2 // y 3 , x 3 \\ y 1 , x 1 ∗ y 2 ) ここで、// と \\ は y // x = x / y y \\ x = x \ y 共役除法 である。
この節の
加筆 が望まれています。
（2015年2月 ）
三つの演算が一致する、つまり x ∗ y = x / y = x \ y [ 注釈 4] 全対称準群 （totally symmetric quasigroup、略してTS-準群とも）である。全対称準群には可換な、つまり x ∗ y = y ∗ x
冪等な全対称準群はシュタイナー三重系 と等価である[ 注釈 5] x ∗ x = x x ∗ x = 1拡張シュタイナー三重系 の幾何学的概念に相当する。
全ての c , x , y ∈ Q (Q , ∗) は弱全反対称 （weakly totally anti-symmetric） であるという[ 5]
(c ∗ x ) ∗ y = (c ∗ y ) ∗ x ⇒ x = y 準群 (Q , ∗) が全反対称 （totally anti-symmetric）とよばれるのは、これに加えて、全ての x , y ∈ Q [ 5]
x ∗ y = y ∗ x ⇒ x = y この性質は、例えばDammアルゴリズム において要求される。
全ての群 はループである。実際、a ∗ x = b ⇔ x = a −1 ∗ b y ∗ a = b ⇔ y = b ∗ a −1
整数 の全体 Z 有理数 全体 Q 実数 全体 R 減法 （−）は準群をなす。この準群は単位元を持たないためループではない（a − 0 = a 0 − a ≠ a であるためこれは左単位元にはならない）。非零有理数 Q × R × 除法 （÷）は準群をなす。
2でない標数 の体 上の任意のベクトル空間 は、演算 x ∗ y = 1 / 2 x + y )冪等 かつ可換 な準群をなす。
全てのシュタイナー三重系 は冪等かつ可換な準群を定める：a ∗ a = a a ≠ b a ∗ b a と b をともに含む唯一の三つ組の残り一つの元とする。この準群は任意の x と y について (x ∗ y ) ∗ y = x も満たしており、シュタイナー準群として知られる[ 6]
四元数 の単元 集合 {±1, ±i, ±j, ±k} について ii = jj = kk = 1 とし、残りの積を四元数の通常の乗法で与えると、位数8の非結合的なループをなす。双曲四元数 （英語版 ） {1, i, j, k} を基底 とする R 非結合的多元環 である。なお、双曲四元数それ自身はループにも準群にもならない。非零八元数 はその乗法のもとで非結合的なループをなす。これはムーファン・ループ の一つとして知られる。
結合的な準群は空 であるか群 である。もし一つ以上の元が存在すれば、準群の二項演算の簡約性と結合性により単位元の存在が含意され[ 注釈 6] [ 注釈 7]
以下の構成はHans Zassenhaus （英語版 ） 位数 3のガロア体 F Z Z ベクトル空間 F 4 ∗ を導入すると、(F 4 , ∗) は群でない可換 なムーファン・ループ となる[ 7] (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∗ (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) + (0, 0, 0, (x 3 − y 3 )(x 1 y 2 − x 2 y 1 )) より一般に、任意の多元体 の非零元の全体は、その乗法を演算として準群をなす。
この記事の残りでは準群の乗法を単に並置で表し て演算子を省略する。
準群は簡約性 を持つ。すなわち、ab = ac b = a \(ab ) = a \(ac ) = c ba = ca b = (ba )/a = (ca )/a = c
準群のラテン方格性は、xy = z
準群の定義はマグマ Q の左右の乗算作用素 L x R x Q → Q L x y ) = xy R x y ) = yx Q からそれ自身への全単射 であることであることを意味する。マグマ Q が準群であるのは、全ての x ∈ Q L −1x (y ) = x \y R −1x (y ) = y /x #普遍代数学的定義 における乗法と除法の間の恒等式は、Q 上の恒等写像 を id として以下のように表せる。
L −1x L x x \(xy ) = y L x L −1x = idx (x \y ) = y R −1x R x (yx )/x = y に対応）R x R −1x = id(y /x )x = y に対応）
ラテン方格。10個の数字0–9を元とする準群の（端の見出し行・見出し列の無い）積表となる。 有限準群の積表はラテン方格 となる。すなわち、n 個の相異なる記号で埋めた n × n
反対に、いずれのラテン方格も複数のラテン方格の積表として捉えることができる。複数というのは、列見出しの行、行見出しの列を追加するときに記号の任意の並べ方 を用いることができるからである。小さいラテン方格と準群 （英語版 ）
可算無限 準群 Q については、各行および各列が Q の元にそれぞれ対応し、a の行と b の列の交わるところに ab q ∈ Q
非零実数 のなす乗法群のような非可算無限 準群については、ラテン方格性は成り立つものの、これは名称としてはやや不十分である。というのは、これらの実数全てを列 (数学) として表せない（整列可能定理 を仮定すれば整列順序を与えることまでは可能だが）ので、上記の無限の表の考え方を拡張して組み合わせた表を構成できないからである。
Inverse properties
ループの全ての元 x に対して左逆元 xλ = e /x xρ = e \x xλ x = xxρ = e x について xλ = xρ x −1
ループにおいては逆元についてのいくつかの概念が用いられる[ 8]
Left inverse property（LI）は、全ての x および y について xλ (xy ) = y L −1x = Lxλ x \y = xλ y
Right inverse property（RI）は、全ての x および y について (yx )xρ = y を満たすことである。R −1x = Rxρ y \x = yxρ
Antiautomorphic inverse property（AI）は、全ての x および y について (xy )λ yλ xλ または (xy )ρ yρ xρ を満たすことである。
Weak inverse property（WI）は、(xy )z = e と x (yz ) = e LI、RI、AIの三つはいずれも両側逆元の存在を含意する。また、LIかつRIを満たすことを inverse property（IP）と呼び、これはAIおよびWIを含意する。実際のところ、LI、RI、AI、WIのうちいずれか二つを満たせばIPであり、残りの二つも成り立つ。
二つの準群（またはループ）Q , P 準同型 （homomorphism）とは、写像 f : Q → P f (xy ) = f (x )f (y )[ 注釈 8]
準群 Q から準群 P へのホモトピー （homotopy）とは、Q から P への写像の三つ組 (α , β , γ ) で、全ての x , y ∈ Q α (x )β (y ) = γ (xy )
アイソトピー （isotopy、イソトピー）は三つの写像 α , β , γ 全単射 のホモトピーである。二つの準群の間にアイソトピーがあるときそれらはアイソトピック （isotopic イソトピック）であるという。ラテン方格で言い換えれば、アイソトピー (α , β , γ ) は行の置換 α 、列の置換 β 、台集合 の元の置換 γ の組である。
オートトピー （autotopy）はある準群からそれ自身へのアイソトピーである。準群の全てのオートトピーの集合は群をなし、自己同型群 を部分群として持つ。
全ての準群にはアイソトピックなループが存在する。また、群とアイソトピックなループはその群と同型でありそれ自身が群である。ただし、準群は群とアイソトピックであっても群とは限らない。例えば、R (x + y ) / 2 で乗法を与えた準群は加法群 (R とアイソトピックだが、結合的ではなく単位元も持たないため群ではない。ブルック–マードック–豊田の定理 により、全ての中可換 準群にはアイソトピックなアーベル群 が存在する。
左除法や右除法はそれを乗法として準群をなす。つまり、元々の乗法の定義の等式 x ∗ y = z x \ z = y z / y = x 反転 （opposite）により y o x = z (= x ∗ y )z \\ x = y (= x \ z )y // z = x (= z / y )∗ の共役 （conjugates、parastrophes）と呼ぶ。また、これらの演算の任意の二つ（同一の場合を含む）は互いに共役である（conjugate (parastrophic) to each other）という。
集合 Q 上に二つの準群演算 ∗ および · があり、一方が他方の共役とアイソトピックであるとき、それらの演算は互いにアイソストロフィック （isostrophic）であるという。この関係にはパラトピー （paratopy）など多くの別名がある。
n -項準群（n -ary quasigroup）は集合 Q とその上の n -項f : Qn → Q (Q , f ) で、等式 f (x 1 ,...,xn ) = y n 個の値が任意に与えられても残りの一つの値が一意に定まるものである。多項 （polyadic、multiary）というときには、ある非負整数 n が存在して n -項であることを意味する。
零項（0-ary、nullary）準群の演算は Q 上の定値写像 であり、単項（1-ary、unary）準群の演算は Q 上の置換である。二項（2-ary、binary）準群は通常の準群である。
多項準群の一例は群演算の繰り返し y = x 1 · x 2 · ··· · xn [ 注釈 9]
このような方法で表すことができない多項準群も存在する。1 ≤ i < j ≤ n かつ (i , j ) ≠ (1, n ) のいかなる i および j においても演算 f が
f (x 1 ,...,xn ) = g (x 1 ,...,x i −1h (xi ,...,xj ) ,x j +1xn )と二つの演算の合成に分解することができないならば、n -項準群は既約 （irreducible）であるという。有限既約 n -項準群は全ての n > 2Akivis & Goldberg 2001 )。
結合律 を満たす n -項準群は、n -項群（英語版 ）
小さい準群（オンライン整数列大辞典 の数列 A057991 ）およびループ（オンライン整数列大辞典 の数列 A057771 ）の個数（ただし同型なもの同士は一つと数える）は、下表の通り[ 9]
位数
準群の数
ループの数
0
1
0
1
1
1
2
1
1
3
5
1
4
35
2
5
1,411
6
6
1,130,531
109
7
12,198,455,835
23,746
8
2,697,818,331,680,661
106,228,849
9
15,224,734,061,438,247,321,497
9,365,022,303,540
10
2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513
20,890,436,195,945,769,617
11
19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025
1,478,157,455,158,044,452,849,321,016
^ 「擬群」と呼ばれることもあるが、この名称はpseudogroupの訳 （英語版 ）
^ 簡約律で置き換えられるのは x と y の一意性のみであり、x と y の存在という要件は依然として必要である。
^ 準群の簡約性を用いて直ちに1番目と3番目、2番目と4番目が同値である。また、3番目から x = ((x ∗ y ) ∗ x ) ∗ (x ∗ y ) = y ∗ (x ∗ y )
^ これは全ての共役演算 が一致することと同値である。
^ ブロック の全体を B で表すとして、(x ∗ y = z ) ⇔ (x = y = z ) ∨ {x , y , z } ∈ B ^ 元 a を任意にとると、準群の定義により a ∗ b = a b がただ一つ存在する。結合性により a ∗ (b ∗ b ) = (a ∗ b ) ∗ b = a ∗ b b ∗ b = b c ∗ a = a c と b ∗ d = a d がただ一つ存在する。結合性により (c ∗ b ) ∗ d = c ∗ (b ∗ d ) = c ∗ a = a = b ∗ d c ∗ b = b = b ∗ b c = b e と書き改めると、任意の元 x について、結合性により e ∗ (e ∗ x ) = (e ∗ e ) ∗ x = e ∗ x e ∗ x = x (x ∗ e ) ∗ e = x ∗ (e ∗ e ) = x ∗ e x ∗ e = x e が単位元であるということに他ならない。
^ 単位元 e が存在することから、結合的準群はループであり、任意の元 x に左逆元 ℓ と右逆元 r がそれぞれただ一つ存在して ℓ ∗ x = e = x ∗ r ℓ = ℓ ∗ e = ℓ ∗ (x ∗ r ) = (ℓ ∗ x ) ∗ r = e ∗ r = r
^ f (x /y )f (x ) = f ((x /y )x ) = f (x ) = (f (x )/f (y ))f (x )f (x /y ) = f (x )/f (y )x や y に Q の単位元 e を代入することで f (e )P の単位元であることが直ちにしたがう。^ 群演算は結合的であるから括弧は必要ない。
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