差分多項式

数学の複素解析の分野における一般差分多項式列（いっぱんさぶんたこうしきれつ、英: general difference polynomials）とは、シェファー多項式列のある特別な部分クラスに属する多項式列であり、ニュートン多項式列、セルバーグ多項式列 (Selberg's polynomials) およびスターリング補間多項式列 (Stirling interpolation polynomials) を特殊な場合として含むものである。

定義

適当な定数 β に対して、一般差分多項式列は

${\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}$

で与えられる。ここで ${\displaystyle \textstyle {z \choose n}}$ は二項係数である。

• β = 0 のとき、生成される p_n(z) は、ニュートン多項式列

  ${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

である。

• β = 1 のとき、セルバーグ多項式列が生成される。
• β = −1⁄2 のとき、スターリング補間多項式列が生成される。

移動差分

解析関数 ${\displaystyle f(z)}$ に対し、その移動差分 (moving difference) を

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}$

で定める。ここで ${\displaystyle \Delta }$ は前進差分作用素である。このとき、f がある特別な総和可能性 (summability) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}$

この列の総和可能性（すなわち、収束）に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が指数型（英語版）よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、Boas & Buck (1964) において詳細に議論されている。

母関数

一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。

${\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}$

この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}$

ここで ${\displaystyle A(w)=1}$、${\displaystyle \Psi (x)=e^{x}}$、${\displaystyle g(w)=t}$ および ${\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}}$ とされる。

関連項目

• カールソンの定理（英語版）

参考文献

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.