埋め込み境界法

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埋め込み境界法（うめこみきょうかいほう、英: immersed boundary method）または境界埋め込み法とは、流体が弾性構造体や膜と相互作用している力学系をコンピュータシミュレーションする手法である[1][2]。構造体の変形と流体の運動の連成問題は、数値計算上の課題を多く含んでいる。埋め込み境界法では、流体はオイラー座標系で、構造物はラグランジュ座標系で表現する。この方法の様々な改良形は、弾性構造体と流体の相互作用を伴う力学系のシミュレーションに広く応用されている。

定式化

非圧縮性のニュートン流体の場合、ナビエ-ストークス方程式[3][4][5]と連続の式は、構造体が流体に及ぼす力の密度f (x , t ) を用いると以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-\nabla p+f(x,t)\\&\nabla \cdot u=0\end{aligned}}}$

通常、流体中の構造体は相互作用しあう粒子の集まりで表現する。j 番目の粒子の座標をZ_j 、粒子j ではたらかせる力をF_j とすると、力の密度f (x , t ) は以下の式のようになる。

${\displaystyle f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}}$

ここで、δ_a はディラックのデルタ関数[6]を長さa のスケールで平滑化した関数である。一方、構造体の変形は、次式に基づいて行われる。

${\displaystyle {\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx}$

関連項目

• en:Stokesian dynamics
• en:Charles S. Peskin

参考資料

1. C. S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica, 11, pp. 1– 39, 2002.
2. R. Mittal and G. Iaccarino, Immersed Boundary Methods, Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 37, pp. 239-261, 2005.
3. Y. Mori and C. S. Peskin, Implicit Second Order Immersed Boundary Methods with Boundary Mass Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2007.
4. L. Zhua and C. S. Peskin, Simulation of a flapping flexible filament in a flowing soap film by the immersed boundary method, Journal of Computational Physics, vol. 179, Issue 2, pp.452-468, 2002.
5. P. J. Atzberger, P. R. Kramer, and C. S. Peskin, A Stochastic Immersed Boundary Method for Fluid-Structure Dynamics at Microscopic Length Scales, Journal of Computational Physics, vol. 224, Issue 2, 2007.
6. A. M. Roma, C. S. Peskin, and M. J. Berger, An adaptive version of the immersed boundary method, Journal of Computational Physics, vol. 153 n.2, pp.509-534, 1999.

外部リンク

• en:Advanced Simulation Library[7] Open source (AGPLv3) hardware accelerated multiphysics simulation software.
• An implementation of the Immersed Boundary Method for Uniform Meshes in 2D (Numerical Codes).
• An implementation of the Immersed Boundary Method for Adaptive Meshes in 3D (Numerical Codes).
• An implementation of the Stochastic Immersed Boundary Method in 3D (Numerical Codes).

脚注

1. C. S. Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica, 11, pp. 1– 39, 2002.
2. R. Mittal and G. Iaccarino, Immersed Boundary Methods, Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 37, pp. 239-261, 2005.
3. Constantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. University of Chicago Press.
4. Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.
5. Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.
6. Balakrishnan, V. (2003). All about the Dirac delta function (?). Resonance, 8(8), 48-88.
7. Advanced Simulation Library