利用者:Trrlover/商空間

In topology and related areas of mathematics, a quotient space (also called an identification space) is, intuitively speaking, the result of identifying or "gluing together" certain points of a given space. The points to be identified are specified by an equivalence relation. This is commonly done in order to construct new spaces from given ones.

数学、特に位相幾何学や関連する分野においての商空間 (quotient space, identification space とも呼ばれる) は、直感的には、ある空間に対して、特定の点 (一点とは限らない) 同士を互いに「貼り合わせる」ことにより得られる空間である。貼り合わせる点同士はある同値関係によって指定される。ある空間から別の空間を生成する方法として、一般的に用いられる。

Definition

定義

Suppose X is a topological space and ~ is an equivalence relation on X. We define a topology on the quotient set X/~ (the set consisting of all equivalence classes of ~) as follows: a set of equivalence classes in X/~ is open if and only if their union is open in X. This is the quotient topology on the quotient set X/~.

X を位相空間, ~ を X 上の同値関係とする。商集合 X/~ は、X の ~ についての同値類を点とする集合であるが、この集合について、位相を以下のように定める。

X/~ の部分集合 S について、S の要素の同値類全体の 和集合 が X 内で開集合であるとき、かつそのときに限り、S は X/~ で開集合である

これを、商集合 X/~ 上の商位相と呼ぶ。

Equivalently, the quotient topology can be characterized in the following manner: Let q : X → X/~ be the projection map which sends each element of X to its equivalence class. Then the quotient topology on X/~ is the finest topology for which q is continuous.

商位相を以下のように特徴づけることもできる。q: X → X/~ を、X上の各点について、その点が属する同値類を対応付ける射影とする。このとき、X/~ 上の商位相は、q を連続にする位相のうち、最も強い位相である。これは上の定義と同値である。

Given a surjective map f : X → Y from a topological space X to a set Y we can define the quotient topology on Y as the finest topology for which f is continuous. This is equivalent to saying that a subset V ⊆ Y is open in Y if and only if its preimage f^−1(V) is open in X. The map f induces an equivalence relation on X by saying x₁~x₂ if and only if f(x₁) = f(x₂). The quotient space X/~ is then homeomorphic to Y (with its quotient topology) via the homeomorphism which sends the equivalence class of x to f(x).

位相空間 X から (位相が導入されていない) 集合 Y への全射 f: X → Y について、f が連続となる位相のうち最も強い位相として Y 上の商位相を定めることができる。これは、V ⊆ Y が開集合であることを f の逆像 f^−1(V) が開集合であることで定義することによって定まる位相と同じである。x₁, x₂ ∈ X について、f(x₁) = f(x₂) のとき x₁ と x₂ が同値である、とする同値関係 ~ を定めることができるが、 x を f(x) の同値類へ写す写像により、商空間 X/~ は (f についての商位相が導入された) Y と同相 である。

In general, a surjective, continuous map f : X → Y is said to be a quotient map if Y has the quotient topology determined by f.

一般に、位相空間 X, Y 間の連続な全射 f: X → Y は、Y が f による商位相を持つときに 商写像 と呼ばれる。

Examples

• Gluing. Often, topologists talk of gluing points together. If X is a topological space and points ${\displaystyle x,y\in X}$ are to be "glued", then what is meant is that we are to consider the quotient space obtained from the equivalence relation a ~ b if and only if a = b or a = x, b = y (or a = y, b = x). The two points are henceforth interpreted as one point.
• 貼り合わせ。位相幾何学者はしばしば点を貼り合わせることについて議論する。X を位相空間、x, y を X の点としたとき、x と y を貼り合わせるとは、x と y が同値となるような (そして、それ以外の任意の相異なる点 a, b ∈ X の組み合わせについて、同値とならないような) 同値関係で X を割ることによって得られる商空間を考えることである。貼り合わされた後、この二つの点は同一の点として扱われる。

• Consider the unit square I^2 = [0,1]×[0,1] and the equivalence relation ~ generated by the requirement that all boundary points be equivalent, thus identifying all boundary points to a single equivalence class. Then I^2/~ is homeomorphic to the unit sphere S^2.
• 単位正方形 I^2 = [0, 1] × [0, 1] および、その境界が互いに同値であるとする同値関係 ~ を考えると、I^2/~ は二次元球面 S^2 と同相である。

• Adjunction space. More generally, suppose X is a space and A is a subspace of X. One can identify all points in A to a single equivalence class and leave points outside of A equivalent only to themselves. The resulting quotient space is denoted X/A. The 2-sphere is then homeomorphic to the unit disc with its boundary identified to a single point: D^2/∂D^2.
• 接着空間。上の例の一般化として、X を位相空間、A をその部分空間とする。Aを一点に、X - A をそのまま残すような写像による X の商空間を X / A と表記する。二次元球面は、二次元円盤 D^2 の、境界を全て同一視した商空間 D^2 / ∂D^2 と同相である。

• Consider the set X = R of all real numbers with the ordinary topology, and write x ~ y if and only if x−y is an integer. Then the quotient space X/~ is homeomorphic to the unit circle S^1 via the homeomorphism which sends the equivalence class of x to exp(2πix).
• 通常の位相による実数空間 R　について考える。x, y ∈ R について、x - y が整数のとき x と y が同値、と定めると、R のこの同値関係による商空間は、xの同値類を exp(2πix) へと写す写像により、円周S^1 と同相である。

• A vast generalization of the previous example is the following: Suppose a topological group G acts continuously on a space X. One can form an equivalence relation on X by saying points are equivalent if and only if they lie in the same orbit. The quotient space under this relation is called the orbit space, denoted X/G. In the previous example G = Z acts on R by translation. The orbit space R/Z is homeomorphic to S^1.

Warning: The notation R/Z is somewhat ambiguous. If Z is understood to be a group acting on R then the quotient is the circle. However, if Z is thought of as a subspace of R, then the quotient is an infinite bouquet of circles joined at a single point.

• 上の例の一般化: 位相群 G が 位相空間 X に連続に作用するとする。このとき、同じ軌道に属することで定義される同値類での商空間は 軌道空間 と呼ばれ、X / G と表記される。上の例では、G = Z が R に作用していた。軌道空間 R / Z はS^1 と同相である。[1]

Properties

Quotient maps q : X → Y are characterized among surjective maps by the following property: if Z is any topological space and f : Y → Z is any function, then f is continuous if and only if f ∘ q is continuous.

Characteristic property of the quotient topology

The quotient space X/~ together with the quotient map q : X → X/~ is characterized by the following universal property: if g : X → Z is a continuous map such that a~b implies g(a)=g(b) for all a and b in X, then there exists a unique continuous map f : X/~ → Z such that g = f O q. We say that g descends to the quotient.

The continuous maps defined on X/~ are therefore precisely those maps which arise from continuous maps defined on X that respect the equivalence relation (in the sense that they send equivalent elements to the same image). This criterion is constantly being used when studying quotient spaces.

Given a continuous surjection f : X → Y it is useful to have criteria by which one can determine if f is a quotient map. Two sufficient criteria are that f be open or closed. Note that these conditions are only sufficient, not necessary. It is easy to construct examples of quotient maps which are neither open nor closed.

Compatibility with other topological notions

• Separation
  • In general, quotient spaces are ill-behaved with respect to separation axioms. The separation properties of X need not be inherited by X/~, and X/~ may have separation properties not shared by X.
  • X/~ is a T1 space if and only if every equivalence class of ~ is closed in X.
  • If the quotient map is open then X/~ is a Hausdorff space if and only if ~ is a closed subset of the product space X×X.
• Connectedness
  • If a space is connected or path connected, then so are all its quotient spaces.
  • A quotient space of a simply connected or contractible space need not share those properties.
• Compactness
  • If a space is compact, then so are all its quotient spaces.
  • A quotient space of a locally compact space need not be locally compact.
• Dimension
  • The topological dimension of a quotient space can be more (as well as less) than the dimension of the original space; space-filling curves provide such examples.

See also

Topology

• Topological space
• Subspace (topology)
• Product space
• Disjoint union (topology)
• Final topology
• Mapping cone

Algebra

• Quotient group
• Quotient space (linear algebra)
• Quotient category
• Mapping cone (homological algebra)

References

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Quotient space - PlanetMath.org（英語）

1. ただし、この表記には曖昧性がある。Z が群として R に作用すると考えれば、この例でのように R / Z は S^1 と同相である。しかし、Z を R の部分空間と考えたときの R / Z は、無限個の円周が一点で交わった空間と同相である。