利用者:CmplstofB/sandbox/楕円の二次曲線

二次曲線による表現

二次曲線

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2fy+g=0}$

が次を満たす時，楕円を表している。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&f\\d&f&g\end{vmatrix}}\neq 0,\,{\begin{vmatrix}a&b\\b&c\end{vmatrix}}>0,\,{\frac {\left|{\begin{smallmatrix}a&b&d\\b&c&f\\d&f&g\end{smallmatrix}}\right|}{a+c}}<0}$

今，この楕円は退化していない （例えば円では無く: ${\displaystyle a\neq c}$， 又一点でもない: ${\displaystyle ac-b^{2}\neq 0}$） と仮定している。

この場合，楕円の中心${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {cd-bf}{b^{2}-ac}}\\y_{0}&={\frac {af-bd}{b^{2}-ac}}\end{aligned}}}$

で与えられ， 長径${\displaystyle r^{+}}$及び短径${\displaystyle r^{-}}$は其々

${\displaystyle r^{\pm }={\sqrt {\frac {2(af^{2}+cd^{2}+gb^{2}-2bdf-acg)}{(b^{2}-ac)(\pm {\sqrt {(a-c)^{2}+4b^{2}}}-(a+c))}}}}$

と表わされる（複合同順）。

[1]

• Weisstein, Eric W (2009年). “Ellipse” (英語). MathWorld. Wolfram. 2019年12月11日閲覧。

1. Weisstein 2009.