PID R 上の任意の有限生成加群 M に対して,真のイデアルの減少列 が一意的に存在して,M は巡回加群の直和に同型となる:
イデアルの生成元 di は単元の積の違いを除いて一意であり,M の単因子 (invariant factor) と呼ばれる.イデアルは真のイデアルだから,これらの因子は可逆であってはならず(これにより直和に自明な因子が現れない),イデアルの包含は可除性 を意味する.自由部分は因子 di = 0 に対応する分解の部分として見える.そのような因子は,もしあれば,列の最後に現れる.
直和は M によって一意的に決定されるが,分解を与える同型写像は一般には一意ではない.例えば R が実は体なら,現れるすべてのイデアルは 0 でなければならず,有限次元ベクトル空間の1次元部分空間の直和への分解を得る.そのような因子の個数すなわち空間の次元は固定されているが,(dim M > 1 なら)部分空間そのものを選ぶ自由性はたくさんある.
0でない di の元たちと,0 である di たちの個数を合わせると,加群の完全不変量となる.明示的には,これは不変量の集合が同じ任意の2つの加群が同型でなければならないことを意味する.
tM で M の捩れ部分加群を表す.すると M/tM は有限生成捩れなし加群であり,PID 上のそのような加群は有限階数の自由加群であるため,ある非負整数 n に対して Rn に同型である.この自由加群は M の部分加群 F として分裂単射に(射影の右逆元)埋め込める.F の各生成元を M に持ち上げれば十分である.その結果 M = tM ⊕ F である.
R の素元 p に対して, を考える.これは tM の部分加群であり,各 Np は巡回加群の直和であることと tM が有限個の相異なる p に対する Np の直和であることが分かる.
2つのステップを合わせて,M は示されたタイプの巡回加群に分解する.
系
これは特別な場合として R = K が体のときに有限次元ベクトル空間の分類を含んでいる.体は非自明なイデアルを持たないから,すべての有限生成ベクトル空間は自由である.
T を K 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線型作用素とする.R として K 係数の T の多項式の代数 K[T] を取ると,T についての構造の情報を得る.V は K[T] 上の有限生成加群として見ることができる.最後の単因子は最小多項式であり,単因子すべての積は特性多項式である.K[T]/p(T) の標準的な行列形と合わせて,これは様々な標準形を生み出す:
主イデアル整域でない環に対して,一意分解は二元で生成された環上の加群に対してさえ成り立つとは限らない.環 R = Z[√−5] に対して,加群 R と,2 と 1 + √−5 で生成される部分加群 M は,ともに直既約である.R は M に同型ではないが,R ⊕ R は M ⊕ M に同型である;したがって M 成分の像は直既約部分加群 L1, L2 < R ⊕ R を与え,これは R ⊕ R の異なる分解を与える.R ⊕ R の直既約加群の直和への一意的な分解が成り立たないことは(イデアル類群を通して)R の元の R の既約元への一意分解が成り立たないことに直接に関係する.
有限生成でない加群
同様に有限生成でない加群に対して,そのような良い分解は期待できない:因子の個数さえ変わる.Q4 の Z 部分加群であって,2つの直既約加群の直和でもあり,3つの直既約加群の直和でもあるようなものが存在し,準素分解の類似が有理整数環 Z に対してさえ無限生成加群に対して成り立たないことが示される.
有限生成でない加群で生じる別の問題は自由でない捩れなし加群が存在することである.例えば,整数環 Z を考える.すると Q は捩れなし Z 加群であるが自由ではない.そのような加群の別の古典的な例は Baer–Specker 群(英語版),すべての整数列が項ごとの加法でなす群である.一般に,どの無限生成捩れなしアーベル群が自由であるかという問題はどの巨大基数が存在するかに依存する.結果は,無限生成加群の任意の構造定理は集合論の公理の取り方に依存し,異なる取り方では無効かもしれないということである.
脚注
参考文献
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN978-0-471-43334-7, MR2286236