イデアル類群 （イデアルるいぐん、英 : ideal class group ）あるいは類群 （るいぐん、英 : class group ）とは、イデアルの類 （英 : ideal class ）と呼ばれる(分数)イデアル の同値類 と、それらの間の積によって定まる群 のことであり、主に整数論 において用いられる。イデアル類群は数体 からイデアルへの移行の際に起こる、群としての拡張の度合いを測るある種の指標となる[ 1]
例えば、イデアル類群が自明 (⇔群の位数が1) であるとは全ての分数イデアルが単項イデアルであるということであり、これは数体の整数環 が単項イデアル整域 であることを意味する。他方、
Q
(
−
5
)
{\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}
6
=
2
⋅
3
=
(
1
+
−
5
)
(
1
−
−
5
)
{\textstyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
[ 注釈 1]
(
2
,
1
+
−
5
)
{\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}
イデアル類群の位数は類数 （るいすう、英 : class number ）と呼ばれる。歴史的にはイデアル類群の発見より以前に、判別式 が等しい二元二次形式 に対する同値類の数として類数は研究されていた。これが群演算を持つことは1801年のカール・フリードリヒ・ガウス の書籍によって示され、実際にこの同値類と群は二次体 のイデアル類群に対応している。
イデアル類群（というよりは、実質的にイデアル類群であったもの）は、イデアル の概念が定式化されるよりも前に、二次形式 の理論として研究されていた。二元二次形式の一般論は1773年にラグランジュ によって最初に与えられた[ 2] Disquisitiones Arithmeticae ガウス は、同じ判別式の値を持つ2次形式の間に演算を定義できて、それが群の公理を満たす（この時点で群論 はまだ整備されていないが）ことを示した。
後にクンマー は円分体 の理論に向かって研究していた。1の冪根 を用いた分解によってはフェルマー予想 の一般の場合が完全に証明できないことはとてもよい理由のためであると（おそらく複数の人々によって）気付かれていた：つまりそれらの1の冪根によって生成された環 において算術の基本定理 が成り立たないことが主な障害だった。クンマーの最初の仕事から分解の障害の研究が生じた。我々は今ではこれをイデアル類群の一端と理解する：実はクンマーは、フェルマーの問題に取り組む標準的な手法の失敗の理由として、任意の素数 p に対して、1 の p 乗根の体に対してその群における p -torsion を分離していた（正則素数 を参照）。
やや後になってデデキント はイデアル の概念を定式化したが、クンマーは異なる方法で研究していてこの時点で存在する例を統一できた。代数的整数 の環は（単項イデアル整域 とは限らないため）素元への一意分解を持たないが、すべての真のイデアルは素イデアル の積としての一意的な分解を持つ（つまりすべての代数的整数環はデデキント整域 である）という性質を持つことが示された。イデアル類群の大きさは環が単項イデアル整域であることからどれだけ隔たっているかを表すものと考えられる；環が単項イデアル整域であることと自明なイデアル類群を持つことは同値である。
数体 K に対して、その整数環 を
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
K の分数イデアル とは、有限生成な
0
(
:=
{
0
}
)
{\textstyle 0\ (:=\{0\})}
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
加群 である。すなわち、0でない生成元
k
1
,
…
,
k
N
∈
K
{\textstyle k_{1},\dots ,k_{N}\in K}
(
k
1
,
…
,
k
N
)
:=
{
k
1
a
1
+
⋯
+
k
N
a
N
∣
a
1
,
…
,
a
N
∈
O
K
}
{\displaystyle (k_{1},\dots ,k_{N}):=\{k_{1}a_{1}+\cdots +k_{N}a_{N}\mid a_{1},\dots ,a_{N}\in {\mathcal {O}}_{K}\}}
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
J
K
{\textstyle J_{K}}
イデアルの積 によって可換群をなす。例えばあるイデアル
a
{\textstyle {\mathfrak {a}}}
a
−
1
:=
{
x
∈
K
∣
∀
a
∈
a
.
a
x
∈
O
K
}
{\textstyle {\mathfrak {a}}^{-1}:=\{x\in K\mid \forall a\in {\mathfrak {a}}.ax\in {\mathcal {O}}_{K}\}}
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
単項イデアル (a ), (b ) に対して、その積は再び単項イデアル (ab ) であり、従って単項イデアルの全体
P
K
{\textstyle P_{K}}
J
K
{\textstyle J_{K}}
J
K
/
P
K
{\textstyle J_{K}/P_{K}}
イデアル類群 と言い、例えば Cl K [ 4]
P
K
{\textstyle P_{K}}
単位類 あるいは主類 （ドイツ語 : Hauptklasse ）という[ 5]
定義から、体の整数環が単項イデアル整域 ならばイデアル類群は自明となる。特に、次で示すような体の整数環はユークリッド環 であるため、自明なイデアル類群を持つ。
有理数体
Q
{\textstyle \mathbb {Q} }
有理整数環
Z
{\textstyle \mathbb {Z} }
ガウス数体
Q
(
i
)
{\textstyle \mathbb {Q} (i)}
ガウス整数環
Z
[
i
]
{\textstyle \mathbb {Z} [i]}
Q
(
−
3
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}
アイゼンシュタイン整数環
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
-5の平方根を添加した体
Q
(
−
5
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}
a
+
b
−
5
{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}
a , b 複素数 すべての集合によって構成され、演算は通常の複素数の四則で定義される。このとき、整数環は
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
環
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
一意分解整域 ではないことが知られている。実際、
6
=
2
⋅
3
=
(
1
+
−
5
)
(
1
−
−
5
)
{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
素元 ではない。イデアル類群における同値類は単位類と
(
2
,
1
+
−
5
)
{\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}
Q
(
−
5
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}
いま d を平方因子を持たない整数 （相異なる素数の積）で、1 でないとすると、Q (√ d Q である。そうして d < 0Q (√ d R の類数が 1 に等しいのは以下のいずれかの場合だけである：d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163ガウス によって予想され、クルト・ヘーグナー （英語版 ） ハロルド・スターク （英語版 ） スターク・ヘーグナーの定理 （英語版 ） 類数問題 の特別な場合である。
一方で、d > 0Q (√ d 代数体 が無限個あるかどうかさえ知られていない。
Q (√ d d < 0Q (√ d 判別式 の整二項二次形式 （英語版 ） d > 0Q (√ d 狭義類群 （英語版 ）
イデアル類群が自明である（すなわちただ1つしか元を持たない）ことと、R のすべてのイデアルが単項イデアルであることは同値である。この意味においてイデアル類群は、R が単項イデアル整域 であることから、したがって一意的な素元分解を満たすことから、どれだけ離れているかを測っている（デデキント環が一意分解整域 であることと単項イデアル整域であることは同値である）。
イデアル類の個数（R の類数 ）は一般には無限大かもしれない。実は、任意のアーベル群はあるデデキント環のイデアル類群に同型である。しかし、実際には R が代数的整数の環であるときには、その類数はつねに有限 である。これは古典的な代数的整数論の主要な結果の1つである。
類群の計算は一般には難しい；判別式 （英語版 ） 代数体 の整数環に対しては、Minkowski's bound （英語版 ） イデアルノルム （英語版 ）
整数環 R から対応するイデアル類群への写像は関手 的であり、イデアル類群は代数的K理論 の先頭に K 0 (R )R にそのイデアル類群を割り当てる関手として包摂できる；より正確には、C (R )K 0 (R ) = Z ×C (R )
上記で既に見たように、イデアル類群はデデキント環 のどのくらいのイデアルが元のように振る舞うかという問いに部分的な解答を与える。答えの別の部分はデデキント環の単数 のなす乗法群 が与える。なぜならば単項イデアルからその生成元への移行には単元を使わなければならないからである（そしてこれは分数イデアルの概念を導入する理由の残りでもある）。
イデアル類群
C
l
K
{\textstyle Cl_{K}}
J
K
{\textstyle J_{K}}
P
K
{\textstyle P_{K}}
完全列 の一部を構成する[ 4]
1
⟶
O
K
∗
⟶
K
∗
⟶
J
K
⟶
C
l
K
⟶
1
{\displaystyle 1\longrightarrow {\mathcal {O}}_{K}^{*}\longrightarrow K^{*}\longrightarrow J_{K}\longrightarrow Cl_{K}\longrightarrow 1}
O
K
∗
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}^{*}}
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
単数 群、
K
∗
{\textstyle K^{*}}
K の乗法群 であり、準同型
K
∗
⟶
J
K
{\textstyle K^{*}\longrightarrow J_{K}}
a
⟼
(
a
)
{\textstyle a\longmapsto (a)}
O
K
{\textstyle {\mathcal {O}}_{K}}
[ 9]
類体論 は与えられた代数体のすべてのアーベル拡大 、つまりガロワ群 が可換なガロワ拡大を分類しようとする代数的整数論 の分野である。とりわけ美しい例は代数体のヒルベルト類体 において見つかる。これはそのような体の極大不分岐 アーベル拡大として定義できる。代数体 K のヒルベルト類体 L は一意的であり、以下の性質を持つ：
K の整数環のすべてのイデアルは L では単項になる、すなわち、I を K の整イデアルとすると、I の像は L の単項イデアルである。L は K のガロワ拡大であり、そのガロワ群は K のイデアル類群に同型である。どちらの性質も証明はそれほど簡単ではない。
数体およびその整数環とは限らない一般の場合においても、環がよい条件を満たすならば、イデアル類群の類似物を考えることができる。そのような「良い条件」を満たす環はクルル整域 英 : Krull domain ）と呼ばれる。具体的には、
環 A は零環 ではなく、0以外の零因子 を持たない (整域 である)。
A の素イデアル
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
高さ 1である) ならば、
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
局所化
A
p
{\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}
離散付値環 となる。
A
=
⋂
p
A
p
{\textstyle A=\bigcap _{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
A の素イデアルで高さ1であるものを動くものとする。任意の0でない
a
∈
A
{\textstyle a\in A}
a
∈
p
{\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
高々 有限個しか存在しない。 を満たすとき、A をクルル整域であるという。高さ1の A の素イデアル全てからなる集合を Z で表す。また、イデアル
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
v
p
(
a
)
:=
inf
{
v
p
(
a
)
∣
a
∈
a
}
{\textstyle v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}}):=\inf\{v_{\mathfrak {p}}(a)\mid a\in {\mathfrak {a}}\}}
分数イデアル
a
{\textstyle {\mathfrak {a}}}
d
i
v
a
∈
Z
(
Z
)
{\textstyle \mathop {\mathrm {div} } {\mathfrak {a}}\in \mathbb {Z} ^{(Z)}}
d
i
v
a
:=
∑
p
∈
Z
v
p
(
a
)
[
p
]
{\displaystyle \mathop {\mathrm {div} } {\mathfrak {a}}:=\sum _{{\mathfrak {p}}\in Z}v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})[{\mathfrak {p}}]}
[
p
]
{\displaystyle [{\mathfrak {p}}]}
d
i
v
a
{\textstyle \mathop {\mathrm {div} } {\mathfrak {a}}}
a
1
[
p
1
]
+
⋯
+
a
m
[
p
m
]
{\displaystyle a_{1}[{\mathfrak {p}}_{1}]+\cdots +a_{m}[{\mathfrak {p}}_{m}]}
A の因子と呼ぶ。
A の因子全体からなる加法群を Div A 、そのうち主因子 (principal divisor) と呼ばれる、
d
i
v
(
x
A
)
{\textstyle \mathop {\mathrm {div} } (xA)}
x ∊ K K は A の商体 ) の形で表される因子の全体を Prin A で表すとき、その剰余類群 Cl A := Div A /Prin A を A の因子類群 (英 : divisor class group ) という[ 10] A の単元の群 U (A )K の乗法群 K *
1
⟶
U
(
A
)
⟶
K
∗
⟶
D
i
v
A
⟶
C
l
A
⟶
1
{\displaystyle 1\longrightarrow U(A)\longrightarrow K^{*}\longrightarrow \mathop {\mathrm {Div} } A\longrightarrow \mathop {\mathrm {Cl} } A\longrightarrow 1}
A に対して、可算個の不定元 X 1 , X 2 , …多項式環
A
[
X
1
,
X
2
,
…
]
{\displaystyle A[X_{1},X_{2},\dots ]}
p
1
=
(
X
1
)
,
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(X_{1}),}
p
n
+
1
=
p
n
+
(
X
n
+
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n+1}={\mathfrak {p}}_{n}+(X_{n+1})}
p
1
⊊
p
2
⊊
p
3
⊊
⋯
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{3}\subsetneq \cdots }
p
n
{\textstyle {\mathfrak {p}}_{n}}
^ それぞれが生成する単項イデアル は素イデアルでないため、
Z
[
−
5
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
素元 ではない。
^ So the class group Cl K (Neukirch 1999 , p. 22)^ Lagrange, Joseph-Louis (1773, 1775). “Recherches d'arithmétique” (フランス語). Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin . (全集：3巻, pp. 695–795). http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_695_0 2023年12月10日 閲覧。 ^ a b Neukirch 1999 , p. 22
^ 高木 1948 , p. 52^ (..., whereas) the unit group
O
∗
{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}
(Neukirch 1999 , p. 22)^ 後藤, 四郎、渡辺, 敬一『可換環論』日本評論社、2011年9月30日、94–95頁。ISBN 978-4-535-78309-6 。全国書誌番号 :21983130 。
Claborn, Luther (1966), “Every abelian group is a class group” , Pacific Journal of Mathematics 18 : 219–222, doi :10.2140/pjm.1966.18.219 , http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm/1102994263&page=record Fossum, Robert M. (1973) (英語). The Divisor Class Group of a Krull Domain . Springer Berlin, Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-88405-4 Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6 , MR 1215934 Goldfeld, Dorian (1985). "Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields" . Bulletin of the American Mathematical Society (英語). 13 (1): 23–37. doi :10.1090/S0273-0979-1985-15352-2 . 2023年12月10日閲覧 。 Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322 , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8 , Zbl 0956.11021 , MR 1697859 高木貞治 『代數的整數論 』（1版）岩波書店、1948年。 NCID BN10835284 。全国書誌番号 :46015061 。https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/daisutekiseisuron/ 。2023年12月2日 閲覧
![{\textstyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b3d3b909e85da88a2a7a9fa1a8b7775a8a5cf0)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37499ef27234d8a67a65932184280bb17301312)
![{\displaystyle \mathop {\mathrm {div} } {\mathfrak {a}}:=\sum _{{\mathfrak {p}}\in Z}v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})[{\mathfrak {p}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e212cf5fec83c1c3d5ffbb54f4fb9f1d5cd6cb)
![{\displaystyle [{\mathfrak {p}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f8b24629b86e9470e653441ec606bf5a6bfa8b)
![{\displaystyle a_{1}[{\mathfrak {p}}_{1}]+\cdots +a_{m}[{\mathfrak {p}}_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a5ab8d96c8046288611a15ac2d0a13fc1774f2)
![{\displaystyle A[X_{1},X_{2},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64e8f60522f7fdf8c15a90994ef2b51e7763a02)
