デデキント環

デデキント環（デデキントかん、Dedekind ring）、あるいはデデキント整域（デデキントせいいき、Dedekind domain）とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

定義

体でない整域 R について、以下の条件は同値である。

• Rの任意の0でない真のイデアルは、有限個の素イデアルの積にかける。
• R はネーター環で、クルル次元が1で、正規である。
• R の任意の0でない分数イデアルは可逆である。
• R はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化は離散付値環（DVR）である。

デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。

例

• 単項イデアル整域はデデキント環である。
• K を有理数体 Q の有限次拡大体とすると、K の整数環 O_K （K における Z の整閉包）はデデキント環である。

加群の構造

デデキント環 R 上の有限生成加群 M の構造は次の様になる[1]。有限生成加群 M に対して、ある零でない整イデアルの列 I₁ ⊆ … ⊆ I_n と階数有限の自由加群 F、可逆イデアル I が存在して同型

${\displaystyle M\cong R/I_{1}\oplus \dotsb \oplus R/I_{n}\oplus F\oplus I}$

が成り立つ。また、このイデアル I, I₁, …, I_n と自由加群 F は有限生成加群 M により同型を除いて一意に定まる。

脚注

1. Auslander & Buchsbaum 2014, Theorem 5.1.

参考文献

• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. https://books.google.co.jp/books?id=MVEuBAAAQBAJ&pg=PA463 

関連項目

• リヒャルト・デーデキント
• 主イデアル整域（PID）
• 一意分解環（UFD）
• 遺伝環