リウヴィル＝アーノルドの定理

リウヴィル＝アーノルドの定理（—のていり、英: Liouville–Arnold theorem）は、ハミルトン形式の解析力学における完全積分可能条件に関する基本定理。

独立な第一積分の組が包合系であれば、求積可能であるともに、正準変数として作用変数-角変数の組（作用・角変数）が取れ、相空間での運動がトーラス上の軌道となることを示す。

定理の名は19世紀のフランスの物理学者ジョゼフ・リウヴィルとロシアの数学者ウラジーミル・アーノルドに因む。リウヴィルの定理として知られていた第一積分による求積可能条件について、後に、アーノルドが幾何学的な観点から再定式化を行った[1]。なお、シンプレクティック幾何学の文脈においてはアーノルド＝ヨストの定理 (Arnold–Jost theorem) とも呼ばれる。

定理の主張

自由度 n のハミルトン力学系において、(q, p) = (q₁,..., q_n ; p₁,..., p_n) を正準変数とする。このとき、系に n 個の独立な第一積分 F₁,..., F_n が存在し、それらのポアソン括弧が可換

${\displaystyle \left\{F_{i},F_{j}\right\}=0}$

すなわち包合系であるとする。このとき、系は完全積分可能である。

さらに、第一積分の等位面として定義されるレベル集合

${\displaystyle M_{f}:=\left\{(q,p)\left|F_{i}(q,p)=\mathrm {const.} ~(=f_{i}),\quad \mathrm {for} ~~i=1,\dots ,n\right.\right\}}$

がコンパクトかつ連結であり、M_f 上で勾配ベクトル ∇ F_i が一次独立であるとする。このとき、M_f は n 次元トーラスと同相である。

歴史

リウヴィルは1853年に出版したノートにおいて、系の自由度に等しい数の積分が存在すれば求積に必要な残りの積分が存在し、従ってその系は求積可能であることを指摘した[2]。

それから100年以上が経過した1963年にアーノルドは幾何学の言葉を用いてリウヴィルの定理の主張を定式化し直し、そのレベル集合が一定の条件のもとでトーラスと同相であることを示した[1]。Res Jost は1968年にアーノルドの証明で仮定された条件の一部が不要であることを指摘した[3]。

ただし、本定理の内容は Henri Mineur によって1930年代に得られていたことが指摘されている[4]。

脚注

1. ^ Arnold, V. I. (1963). “Small Denominators and Problems of Stability of Motion in Classical and Celestial Mechanics”. Russian Math. Surveys 18: 85-191. doi:10.1070/RM1963v018n06ABEH001143. 　(Arnold, Vladimir I. (2010). Collected Works: Representations of Functions, Celestial Mechanics, and KAM Theory 1957-1965. Springer. ISBN 978-3642017414 に収録)
2. Liouville, J. (1853). “Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 20: 137-138. http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1855_1_20_A11_0.pdf. 
3. Jost, Res (1968). “Winkel- und Wirkungsvariable für allgemeine mechanische Systeme”. Helvetica Physica Acta 41: 965-968. 
4. Eva Miranda (2011年). “INTEGRABLE SYSTEMS AND GROUP ACTIONS”. p. 4. 2020年11月3日閲覧。

参考文献

• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer. ISBN 978-0387968902 ; V. I. アーノルド『古典力学の数学的方法』安藤韶一、蟹江幸博、丹羽敏雄（翻訳）、岩波書店、2003年。ISBN 978-4000053617。 
• Arnold, V. I.; Avez, Andre (1968). Ergodic Problems of Classical Mechanics. W.A. Benjamin ; V. I. アーノルド、A. アベズ『古典力学のエルゴード問題』吉田耕作 (翻訳)、吉岡書店、2004年。ISBN 978-4842702889。 
• 大貫義郎、吉田春夫『力学』岩波書店〈現代物理学叢書〉、2001年。ISBN 978-4000067614。 

関連項目

• 解析力学
• シンプレクティック幾何学
• ポアソン括弧