ヤコビの定理 (幾何学)

隣接する色の角は等しい。 N は△ABCとこの角に対するヤコビ点。

ユークリッド幾何学において, ヤコビの定理（やこびのていり、英語: Jacobi's theorem）とは任意の三角形△ABCと角α, β, γについての定理である[1][2]。 三点 X, Y, Z が$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha ,\\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta ,\\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma .\end{aligned}}}$$を満たすときAX, BY, CZは共点であり、その点をヤコビ点（Jacobi point）という[3][4][5]。ヤコビの定理はカール・フリードリヒ・アンドレアス・ヤコビにちなんで名づけられた。

ヤコビ点は フェルマー点の一般化で, α = β = γ = 60°としたときにフェルマー点となる。

3つの角が等しいとき, ヤコビ点 N は重心座標 で以下の式を満たす双曲線上にある。$${\displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0,}$$これはキーペルト双曲線と呼ばれる。

ヤコビ点は次のように一般化することができる。

△ABCのそれぞれの辺上に点K,L,M,N,O,Pを、 BK/KC = CL/LB = CM/MA = AN/NC = AO/OB = BP/PA を満たすように配置する。更に点D,E,F,X,Y,Zを∠DOP = ∠FNM , ∠DPO = ∠EKL , ∠ELK = ∠FMNかつ、△LMY ~ △OPD , △NOZ ~ △KLE , △PKX ~ △MNFを満たすように作ったとき、DY, EZ,FXは共点である。

出典

1. “Kiepert's and Jacobi's Theorems”. www.cut-the-knot.org. 2024年6月21日閲覧。
2. Glenn T. Vickers (2016). “The 19 Congruent Jacobi Triangles”. Forum Geometricorum (Volume 16): 339–344. 
3. de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. pp. 138–140. ISBN 9780557102952 
4. Glenn T. Vickers (2015). “Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic”. Forum Geometricorum (Volume 15): 179-183. https://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf. 
5. Michael de Villiers (1999). “A further generalization of the Fermat-Torricelli point”. Mathematical Gazette: 14-16. https://www.researchgate.net/publication/270309612_8306_A_Further_Generalisation_of_the_Fermat-Torricelli_Point. 

外部リンク

• A simple proof of Jacobi's theorem   written by Kostas Vittas
• Fermat-Torricelli generalization at Dynamic Geometry Sketches First interactive sketch generalizes the Fermat-Torricelli point to the Jacobi point, while 2nd one gives a further generalization of the Jacobi point.