数学 の一分野である複素解析 におけるモレラの定理 （モレラのていり、英 : Morera's theorem ）とは、ジャチント・モレラ （英語版 ） 函数 が正則 であるか判別するための重要な指標を与えるものである。
モレラの定理では、複素平面 内のある連結 開集合 D 上で定義される連続 な複素数 値函数 f で、D 内のすべての区分的 C 1 γ に対して
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}
を満たすものは、必ず D 上で正則であると述べられている。
モレラの定理の仮定は、f が D 上に原始関数 を持つことと同値である。
この定理の逆は一般には成り立たない。正則函数は、付加的な仮定が課されない限り、その定義域上に不定積分を持つとは必ずしも言えない。例えば定義域が単連結 であれば、そのような逆は成立する。これは、閉曲線 に沿った正則函数の線積分 はゼロであることを述べたコーシーの積分定理 による。
一方、区分的 C 1 D に含まれる三角形の境界に限っても定理は成り立ち、さらに逆も成り立つ（後述 ）。こちらもモレラの定理と呼ばれる。
この定理には比較的簡単な証明が存在する。
一般性を失うことなく、D は連結空間 であるとしてよい。D 内のある点 z 0 z ∈ D γ : [0, 1] → D γ (0) = z 0 γ (1) = z C 1 F を次のように定める。
F
(
z
)
=
∫
γ
f
(
ζ
)
d
ζ
.
{\displaystyle F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .}
この函数が well-defined であることを確かめるために、τ (0) = z 0 τ (1) = z C 1 τ : [0, 1] → D γτ −1 γ と逆向きの τ を組み合わせた曲線）は D 内の区分的 C 1
∫
γ
f
(
ζ
)
d
ζ
+
∫
τ
−
1
f
(
ζ
)
d
ζ
=
∮
γ
τ
−
1
f
(
ζ
)
d
ζ
=
0
{\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0}
が成立し、したがって
∫
γ
f
(
ζ
)
d
ζ
=
∫
τ
f
(
ζ
)
d
ζ
{\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta }
が成立する。
すると f の連続性を用いて平均変化率を評価すると、F ′(z ) = f (z )微分積分学の基本定理 や平均値の定理 は、実数値に関するものであるため利用できないことに注意されたい。
すると f は正則函数 F の導函数であるため、それ自身が正則である。正則関数の導関数が正則であるという事実は、正則関数は解析的である 、すなわち収束冪級数によって書けるという事実と、冪級数は項別微分できるという事実を用いて、証明できる。これで証明は完成される。
モレラの定理は複素解析 における標準的な道具であり、正則函数の非代数的な構成を含むほとんどすべての議論において利用することが出来る。
例えば、ある開円板上の連続函数 f に一様収束 する正則函数の列 f 1 , f 2 , ...コーシーの積分定理 より、すべての n と円板内の任意の閉曲線 C に対して
∮
C
f
n
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}
が成立する。このとき一様収束であることは、任意の閉曲線 C に対して
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
lim
n
→
∞
f
n
(
z
)
d
z
=
lim
n
→
∞
∮
C
f
n
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}
が成立することを意味し、したがってモレラの定理より f は正則となる。この事実から、任意の開集合 Ω ⊆ C に対し、すべての有界 かつ解析的な函数 u : Ω → C A (Ω)上限ノルム に関してバナッハ空間 となることが従う。
モレラの定理は、フビニの定理 やワイエルシュトラスのM判定法 と組み合わせることで、和や積分によって定義される函数の解析性を示すために利用することが出来る。例えばリーマンゼータ函数
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
やガンマ函数
Γ
(
α
)
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx}
を考える。任意の適切な閉曲線 C に対し、
∮
C
Γ
(
α
)
d
α
=
0
{\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}
が示される。実際、
∮
C
Γ
(
α
)
d
α
=
∮
C
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
x
d
x
d
α
{\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }
と記述すると、積分の順序交換にフビニの定理を用いることが出来、
∫
0
∞
∮
C
x
α
−
1
e
−
x
d
α
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
∮
C
x
α
−
1
d
α
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx}
が得られる。すると x ↦ x α −1
∮
C
x
α
−
1
d
α
=
0
{\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0}
となり、したがって上述の二重積分は 0 であることが示される。ゼータ函数の場合、M判定法によって閉曲線に沿った積分と直和の順序交換を行うことが出来、同様の結果が得られる。
モレラの定理の仮定は相当に弱めることが出来る。特に、領域 D に含まれる任意の閉三角形領域 T に対して
∮
∂
T
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}
が 0 であれば十分である。これは実は、正則性を特徴付けるものである。すなわち、f が D 上で正則であるための必要十分条件が、この条件である。
これを用いると、例えば鏡像の原理 を証明することができる。
Ahlfors, Lars (January 1, 1979), Complex Analysis , International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 , Zbl 0395.30001 Conway, John B. (1973), Functions of One Complex Variable I , Graduate Texts in Mathematics, 11 , Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4 , Zbl 0277.30001 Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Function Theory of One Complex Variable , Graduate Studies in Mathematics, 40 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4 Morera, Giacinto (1886), “Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa” (Italian), Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere 19 (2): 304–307, JFM 18.0338.02 , https://archive.org/stream/rendiconti00unkngoog#page/n312/mode/2up Rudin, Walter (1987) [1966], Real and Complex Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill , pp. xiv+416, ISBN 978-0-07-054234-1 , Zbl 0925.00005 野口, 潤次郎『複素解析概論』（第6版）裳華房〈数学選書12〉、2002年。ISBN 978-4-7853-1314-2 。
