ベクトル測度

数学の分野におけるベクトル測度（ベクトルそくど、英: vector measure）とは、ある集合族上で定義される、ある特定の性質を備えたベクトル値関数である。非負実数値のみを取る測度の概念の一般化である。

定義と第一の帰結

集合体 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ とバナッハ空間 ${\displaystyle X}$ が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の互いに素な集合 ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ に対して

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

が成り立つような関数 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ のことを言う。

ベクトル測度 ${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であるとは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の互いに素な集合の列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ でその合併が　${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ に含まれるようなものに対して、

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 ${\displaystyle X}$ のノルムについて収束するものとする。

加法的ベクトル測度 ${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$ に対して

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\quad \quad \quad (*)}$

が成り立つことである。ここで ${\displaystyle \|\cdot \|}$ は ${\displaystyle X}$ のノルムである。

σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 ${\displaystyle [0,\infty ]}$、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。

例

区間 ${\displaystyle [0,1]}$ およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から成る集合体を考える。そのような任意の集合 ${\displaystyle A}$ に対して

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}\,}$

を定義する。ここで ${\displaystyle \chi }$ は ${\displaystyle A}$ の指示関数である。この ${\displaystyle \mu }$ がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から L^p 空間 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$ への関数と見なされたとき、${\displaystyle \mu }$ は可算加法的ではないベクトル測度である。

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ から L^p 空間 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ への関数と見なされたとき、${\displaystyle \mu }$ は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

ベクトル測度の変分

ベクトル測度 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ に対し、その変分（variation）${\displaystyle |\mu |}$ は

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

によって定義される。ここで右辺の上限は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内のすべての ${\displaystyle A}$ に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

に対して取られる。また ${\displaystyle \|\cdot \|}$ は ${\displaystyle X}$ 上のノルムである。${\displaystyle \mu }$ の変分は ${\displaystyle [0,\infty ]}$ に値を取る有限加法的関数である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内の任意の ${\displaystyle A}$ に対して

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

が成立する。${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ が有限であるなら、測度 ${\displaystyle \mu }$ は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。${\displaystyle \mu }$ が有界変分のベクトル測度であるなら、${\displaystyle \mu }$ が可算加法的であることと ${\displaystyle |\mu |}$ が可算加法的であることは同値である。

リャプノフの定理

ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、（非原子的（英語版）な）ベクトル測度の値域は閉かつ凸である[1][2][3] 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合）である[2]。この定理は、数理経済学[4][5][6]や、ビッグバン制御理論[1][3][7][8]、および統計理論（英語版）[8]において用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるシャープレー＝フォークマンの補題（英語版）を用いることによって証明される[9][8][10] [11]

脚注

1. ^ Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
2. ^ Diestel, Joe; Uhl, (1977). Vector measures. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1515-6 
3. ^ Rolewicz, Stefan (1987). Functional analysis and control theory: Linear systems. Mathematics and its Applications (East European Series). 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers. pp. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. MR920371. OCLC 13064804 
4. Roberts, John (July 1986). “Large economies”. In David M. Kreps; John Roberts; Robert B. Wilson. Contributions to the New Palgrave. Research paper. 892. Palo Alto, CA: Graduate School of Business, Stanford University. pp. 30–35. (Draft of articles for the first edition of New Palgrave Dictionary of Economics). https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf 7 February 2011閲覧。 
5. Aumann, Robert J. (January 1966). “Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders”. Econometrica 34 (1): 1–17. JSTOR 1909854. MR191623.  This paper builds on two papers by Aumann: “Markets with a continuum of traders”. Econometrica 32 (1–2): 39–50. (1964-01). JSTOR 1913732. MR172689.  “Integrals of set-valued functions”. Journal of Mathematical Analysis and Applications 12 (1): 1–12. (August 1965). doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1. MR185073. 
6. Vind, Karl (1964年5月). “Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders”. International Economic Review 5 (2): pp. 165–77  Vind's article was noted by Debreu (1991, p. 4) with this comment:

   The concept of a convex set (i.e., a set containing the segment connecting any two of its points) had repeatedly been placed at the center of economic theory before 1964. It appeared in a new light with the introduction of integration theory in the study of economic competition: If one associates with every agent of an economy an arbitrary set in the commodity space and if one averages those individual sets over a collection of insignificant agents, then the resulting set is necessarily convex. [Debreu appends this footnote: "On this direct consequence of a theorem of A. A. Lyapunov, see Vind (1964)."] But explanations of the ... functions of prices ... can be made to rest on the convexity of sets derived by that averaging process. Convexity in the commodity space obtained by aggregation over a collection of insignificant agents is an insight that economic theory owes ... to integration theory. [Italics added]

   Debreu, Gérard (1991年3月). “The Mathematization of economic theory”. The American Economic Review 81 (Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC) 

7. Hermes, Henry; LaSalle, Joseph P. (1969). Functional analysis and time optimal control. Mathematics in Science and Engineering. 56. New York—London: Academic Press. pp. viii+136. MR420366 
8. ^ Artstein, Zvi (1980年). “Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points”. SIAM Review 22 (2): pp. 172–185. doi:10.1137/1022026 
9. Tardella, Fabio (1990年). “A new proof of the Lyapunov convexity theorem”. SIAM Journal on Control and Optimization 28 (2): pp. 478–481. doi:10.1137/0328026 
10. Starr, Ross M. (2008). “Shapley–Folkman theorem”. In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E., ed.. The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 317–318 (1st ed.). doi:10.1057/9780230226203.1518. http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107 
11. Page 210: Mas-Colell, Andreu (1978年). “A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?”. Journal of Mathematical Economics 5 (3): pp. 207–215. doi:10.1016/0304-4068(78)90010-1 

書籍

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (reprint ed.). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. https://books.google.it/books?id=vRxV2FwJvoAC&printsec=frontcover&dq=Measure+theory+Cohn&cd=1#v=onepage&q&f=false 
• Diestel, Joe; Uhl, (1977). Vector measures. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1515-6 
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Vector_measure 

関連項目

• ボホナー積分