ブラ-ケット記法 （ブラ-ケットきほう、英 : bra-ket notation ）またはディラックの記法 （ディラックのきほう、英 : Dirac notation ）は[ 注 1] 量子力学 における量子状態 を記述するための標準的な記法である。
ブラケット（bra-ket ）という呼称は、量子状態をブラ （bra ） ⟨ φ |ケット （ket ） |ψ ⟩ 内積 ⟨ φ |ψ ⟩ 括弧 （bracket ）を成すことに由来する。
ブラケット記法は1939年のポール・ディラック の論文(Dirac 1939 )で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics
ブラ ⟨ φ ||ψ ⟩ ベクトル空間 の双対空間 の元として定義される。ケットをケットへ写す線型 な関数 （線型作用素 ）を
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
O
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle }
{
⟨
ϕ
|
O
^
}
|
ψ
⟩
=
⟨
ϕ
|
{
O
^
|
ψ
⟩
}
{\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}
通常、上記の内積は括弧を外して
⟨
ϕ
|
O
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle }
|ψ ⟩ |η ⟩ ⟨ ξ |ψ ⟩ |η ⟩ ⟨ ξ | |η ⟩ ⟨ ξ |
ブラの随伴 はケット、ケットの随伴はブラである。
⟨
ψ
|
†
=
|
ψ
⟩
,
|
ψ
⟩
†
=
⟨
ψ
|
{\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}
また、ある状態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
観測可能量
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
期待値 はブラ ⟨ ψ |ˆ O |ψ ⟩
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }
初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル 、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示 を参照）。
この記法の利点として
基底 に依存しない記述が可能固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて |n, l, m ⟩ |生きている猫⟩ などがある。
ディラックの説明によればケット |ψ ⟩ ⟨ φ |線形汎関数 を表す、すなわちブラは双対空間 に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。
正規直交基底 のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタ を用いて
⟨
α
|
β
⟩
=
δ
α
,
β
,
{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}
連続基底ではデルタ関数 を用いて
⟨
α
|
β
⟩
=
δ
(
α
−
β
)
{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}
となる。
また正規直交基底の完全性 は離散基底について、
∑
α
|
α
⟩
⟨
α
|
=
1
{\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}
連続基底について、
∫
d
α
|
α
⟩
⟨
α
|
=
1
{\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}
と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」
|
α
⟩
{\displaystyle |\alpha \rangle }
量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測 も参照）。
第二量子化 された粒子生成演算子 a †
|
α
β
⟩
=
a
α
†
a
β
†
|
0
⟩
{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }
と定義する。この時 a † フェルミ粒子 を表す演算子 なら、これらは反交換関係 {a †α a †β を満たすので、
|
α
β
⟩
=
a
α
†
a
β
†
|
0
⟩
=
−
a
β
†
a
α
†
|
0
⟩
=
−
|
β
α
⟩
{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle }
となり、反対称化されている。
また a † ボース粒子 を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †α a †β を満たすので、
|
α
β
⟩
=
a
α
†
a
β
†
|
0
⟩
=
a
β
†
a
α
†
|
0
⟩
=
|
β
α
⟩
{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle }
となり、対称化されている。
ケット |ψ ⟩ 波動関数 ψ (x )
ψ
(
x
)
=
⟨
x
|
ψ
⟩
,
|
ψ
⟩
=
∫
−
∞
∞
d
x
ψ
(
x
)
|
x
⟩
{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }
ただし、位置を表す演算子
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
x |x ⟩
x
^
|
x
⟩
=
x
|
x
⟩
{\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }
