ハーン–バナッハの定理

数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学（英語版）の分野で多く用いられている。

定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合^[1]については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており^[2]、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた^[3]。

定式化

定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。実数体 R 上のベクトル空間 V に対し、関数 ƒ : V → R が劣線形（英語版）であるとは、

任意の

\gamma \in \mathbb {R} _{+}

および x ∈ V に対して

f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)

が成立する（正同次性）

任意の x, y ∈ V に対して

f(x+y)\leq f(x)+f(y)

が成立する（劣加法性）

が成立することを言う。

V 上のすべての半ノルム（特に、V 上のすべてのノルム）は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合のミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。

ハーン-バナッハの定理は次のようなものである: $\scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R}$ が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ によって支配されるようなもの、すなわち

\varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U

が成立するようなものとする。このとき、φ には全空間 V へのある線形拡張 ψ: V → R が存在する。すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する:

\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U

および

\psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.

(Rudin 1991, Th. 3.2)

ハーン–バナッハの定理の別形態は次のようなものである: V を係数体 K （実数 R あるいは複素数 C）上のベクトル空間とし、 $\scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R}$ を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ によって支配されるもの、すなわち

|\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U

が成立するものとする。このとき、φ には全空間 V への線形拡張 ψ: V → K が存在する。すなわち、次を満たすような K-線形汎関数 ψ が存在する:

\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U

および

|\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.

この定理の複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対して、ベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x) が成立するという仮定を加えて要求するということである。

一般には、拡張 ψ は φ によって一意に定まるものではなく、また、定理の証明を見ても ψ を見つける明示的な方法は分からない。無限次元空間 V の場合には、選択公理の一形態であるツォルンの補題が、証明に必要とされる。

(Reed & Simon 1980)によれば、 $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ に対する劣線形性の条件は、条件

{\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|\,{\mathcal {N}}(x)+|b|\,{\mathcal {N}}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq 1

に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン–バナッハの定理と凸性の間の深い関係を明らかにするものである。

Mizarプロジェクトは、ハーン–バナッハの定理の完全な定式化と自動検証された証明をHAHNBAN fileに有している。

重要な帰結

この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理」と呼ばれることがある。

V をノルム線型空間、U をその線形部分空間（必ずしも閉ではない）とし、作用素 φ: U → K は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 ψ: V → K が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる（線型写像のノルムについては「バナッハ空間」を参照されたい）。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 K は入射的対象であることを意味する。
V をノルム線型空間、U をその線型部分空間（必ずしも閉ではない）とし、z を、U の閉包に含まれないような V の元とする。このとき、すべての U の元 x に対しては ψ(x) = 0 であり、ψ(z) = 1 および ǁψǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満たすような連続線型作用素 $ψ: V \to K$ が存在する。
特に、ノルム線型空間 V の任意の元 z に対して、

ψ(z) = ǁzǁ かつ ǁψǁ ≤ 1 を満たすような連続線型作用素 $ψ: V \to K$ が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 V からその二重双対 V ′′ への自然な単射は等長写像であるということを意味する。

ハーン–バナッハの分離定理

ハーン–バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理というものが知られている^[4] 。この定理は凸幾何学（英語版）^[5]、最適化理論、経済学の分野で幅広く用いられている。

定理.

V を、K (= ℝ または ℂ) に対する位相ベクトル空間とし、A および B を、V の空でない凸な部分集合とし、A ∩ B = ∅ とする。このとき、次が成立する:

A が開ならば、ある連続線型作用素 λ: V → K および実数 t ∈ R が存在して、Re λ(a) < t ≤ Re λ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対して成立する。
V が局所凸、A がコンパクトで、B が閉ならば、ある連続線型作用素 λ: V → K および実数 s, t ∈ R が存在して、Re λ(a) < t < s < Re λ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対して成立する。

選択公理との関係

上述のように、選択公理からハーン–バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱いウルトラフィルターの補題（英語版）からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン–バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る^[6]。更に、ブラウンとシンプソンは、弱ケーニヒの補題を公理の一つとする二階算術（英語版）の部分体系WKL₀ から可分なバナッハ空間上の有界線型汎関数に対するハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した^[7]。

$C [a, b]$ の双対空間

ハーン–バナッハの定理の帰結として、次のようなものも存在する。

命題.

-\infty < a < b < \infty

のとき、

F \in C [a, b] *

であるための必要十分条件は、有界変動関数

ρ: [a, b] \to R

が存在して

F(u)=\int _{a}^{b}u(x)\,d\rho (x)

がすべての

u \in C [a, b]

に対して成立することである。

さらに、ρ の全変動 V(ρ) に対し、ǁFǁ = V(ρ) が成立する。

注釈

^ ある区間 [a, b] 上の連続関数からなる空間C[a, b] の場合。
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “ハーン–バナッハの定理”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
^ リースの拡張定理を参照されたい。Gȧrding, L. (1970). “Marcel Riesz in memoriam”. Acta Math. 124 (1): I–XI. MR 0256837. によれば、1918年にはすでにリースはこの定理の内容について知っていたとされる。
^ Gabriel Nagy, Real Analysis lecture notes
^ Harvey, R.; Lawson, H. B. (1983). “An intrinsic characterisation of Kahler manifolds”. Invent. Math 74 (2): 169–198. doi:10.1007/BF01394312.
^ Pincus, D. (1974). “The strength of Hahn–Banach's Theorem”. Victoria Symposium on Non-standard Analysis. Lecture notes in Math.. 369. New York: Springer. pp. 203–248. ISBN 0-387-06656-X Citation from Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). “The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set”. Fundamenta Mathematicae 138: 13–19.
^ Brown, D. K.; Simpson, S. G. (1986). “Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn–Banach theorem?”. Annals of Pure and Applied Logic 31: 123–144. doi:10.1016/0168-0072(86)90066-7. Source of citation.

参考文献

Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) pages 193–211.
Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5
Terence Tao, The Hahn–Banach theorem, Menger’s theorem, and Helly’s theorem
Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.