トゥシャール多項式

数学において、Jacques Touchard (1939) によって研究されたトゥシャール多項式（トゥシャールたこうしき、英: Touchard polynomials）あるいは指数多項式（exponential polynomials）[1][2][3] とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。

${\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0.}$

ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された）。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$

である。

X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(X^n) = T_n(λ) で、次が定義される。

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}$

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)}$

トゥシャール多項式は、次の漸化式

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

および

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}$

を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。

陰記法 T^n(x)=T_n(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n}.}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

トゥシャール多項式の母関数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}}$

である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、[4] においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt}$

となる。トゥシャール多項式（そして関連するベル数）は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta )\,\mathrm {d} \theta }$

参考文献

1. Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. ISBN 0-486-44139-3 
2. Boyadzhiev, Khristo N.. “Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals.”. arxiv. 23 November 2013閲覧。
3. Brendt, Bruce C. “RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU”. 23 November 2013閲覧。
4. Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. pp. 63–64. ISBN 0-486-44139-3 

• Touchard, Jacques (1939), “Sur les cycles des substitutions”, Acta Mathematica 70 (1): 243–297, doi:10.1007/BF02547349, ISSN 0001-5962, MR1555449