数学の一分野函数解析学においてコンパクト作用素(コンパクトさようそ、英語: compact operator)とは、バナッハ空間X から別のバナッハ空間 Y への線型作用素L であって、X の任意の有界集合を Y の相対コンパクト集合へ写すようなもののことを言う。このような作用素は有界作用素、つまり連続写像でなければならない。
有界作用素 L で階数が有限なものは全てコンパクト作用素である。実際、無限次元空間上のコンパクト作用素のクラスは階数有限な作用素のクラスの自然な一般化である。X = Y がヒルベルト空間であるとき、任意のコンパクト作用素は有限階作用素の極限として得られる。したがってコンパクト作用素のクラスを有限階作用素のクラスの作用素ノルムに関する閉包として定義することもできる。このこと(近似特性 AP)が一般のバナッハ空間においても正しいかどうかということは長年未解決の問題であったが、エンフロによって反例が与えられ否定的に解決された。
コンパクト作用素の理論の始まりは、積分方程式の理論の中にあり、そこでは積分作用素がそのような作用素の具体的な例を与える。典型的なフレドホルム方程式は函数空間上のコンパクト作用素 K を生じ、このときのコンパクト性は同程度連続性によって示される。有限階作用素による近似法はそのような方程式の数値解法の基礎である。抽象的なフレドホルム作用素の概念はこの関連性からくるものである。
X における単位球体内の任意の列 (xn)n∈N に対し、列 (Txn)n∈N はコーシー列を成す部分列を含む。
重要な性質
以下、X, Y, Z, W はバナッハ空間であるとし、B(X, Y) を X から Y への有界作用素全体が作用素ノルムに関して成すバナッハ空間、K(X, Y) を X から Y へのコンパクト作用素全体の成す空間、B(X) = B(X, X), K(X) = K(X, X), idX は X 上の恒等作用素とする。
任意の T ∈ K(X) に対し idX − T は指数 0 のフレドホルム作用素である。特に、im(idX − T) は閉である。これはコンパクト作用素のスペクトル特性の発展において本質的である。この性質と、M, N がバナッハ空間の部分空間で、M が閉、N が有限次元のとき M + N もまた閉となるという事実との類似性を指摘するものもいる。
積分方程式論
コンパクト作用素の重要な性質に (λK + I)u = f の形の線型方程式の解の存在性が有限次元の場合におけると同様に振舞うことを主張するフレドホルムの交代定理がある。これによりフリジェシュ・リース (1918) によるコンパクト作用素のスペクトル理論が従う。これによれば、無限次元バナッハ空間上のコンパクト作用素 K は、0 を含む C の有限部分集合かあるいは集積点のみからなる C の可算無限集合のいずれかをスペクトル集合に持つことが示される。さらにいえば、いずれの場合においてもスペクトル集合の非零元は K の重複度有限なる固有値である(つまり、任意の複素数 λ ≠ 0 について K − λI の核は有限次元)。
X, Y をバナッハ空間とする。有界線型作用素 T: X → Y が完全連続(completely continuous) であるとは、X からの任意の弱収束列 (xn) に対し、列 (Txn) が Y においてノルム収束するときにいう(Conway 1985, §VI.3)。バナッハ空間上のコンパクト作用素はつねに完全連続である。逆に、X が回帰的バナッハ空間(反射的バナッハ空間とも)であるならば任意の完全連続作用素 T: X → Y がコンパクトになる。
^William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press, 2000
参考文献
Conway, John B. (1985), A course on functional analysis, Springer-Verlag, ISBN3-540-96042-2
Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN0-387-00444-0 (Section 7.5)
Kutateladze, S.S. (1996). Fundamentals of Functional Analysis. Texts in Mathematical Sciences 12 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 292. ISBN978-0-7923-3898-7