ケプラー予想 （ケプラーよそう、英 : Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラー に由来する、三次元ユークリッド空間 における球充填 に関する数学的な予想 である。それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度 が立方最密充填配置（面心立方 ）ならびに六方最密充填配置 を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。
1998年にトーマス・C・ヘイルズ （英語版 ） ラースロー・フェイェシュ＝トート （英語版 ） [ 1] しらみつぶし法 （英語版 ） 定理 として受け入れられる寸前に来ている。2014年、ヘイルズに率いられたフライスペック・プロジェクト（英 : the Flyspeck project ）のチームは、定理証明支援ツールであるIsabell （英語版 ） HOL Light （英語版 ）
立方最密充填（左）および六方最密充填（右）。 大きな容器を一定サイズの小球で一杯にしたとする。その配置の充填密度は球体積の総和を容器の容積で割ったもので与えられる。容器中の球の数を最大化することが、最大密度の配置を得ること、すなわち球をもっとも密に詰め込むことと等しい。
球を無作為に投げ込んでいくと密度は65%前後になることが実験的に確かめられている。これよりも密度を向上させるには、次の手順に沿って注意深く球を詰めていけばよい。まず、球を六方格子状に並べて初めの層を作る。次に、第一層の上でもっとも低い位置に球を並べていって第二層を作る。以下繰り返す。それぞれのステップで新しい層を置く場所には二通りの選択肢が存在するので、この自然な方法から密度が等しい配置は非可算無限 個作られる。そのうち立方最密充填 および六方最密充填 と呼ばれる二つの配置が最もよく知られている。それらの平均密度は次の値を持つ。
π
3
2
=
0.740480489
…
{\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots }
ケプラー予想が主張しているのは、上が可能な密度の最大であり、これ以上の平均密度を持つ球の配置は存在しないということである。
Strena Seu de Nive Sexangula （新年の贈り物あるいは六角形の雪について）の図版。ケプラー予想を図解している。ケプラー予想はヨハネス・ケプラーの論文『新年の贈り物あるいは六角形の雪について』[ 2] [ 3] 天経或問 』を通じて日本にも伝わり、幕末の土井利位『雪華図説 』でも紹介されている[ 4]
ケプラーが球の配置を研究し始めたのは、1606年におけるイギリス人数学者・天文学者、トーマス・ハリオット との文通がきっかけである。ハリオットは友人で雇い主のウォルター・ローリー から船倉に砲弾を効率的に積み込む方法の問題を与えられていた。ハリオットは1591年に様々な積み上げパターンの研究を出版し、さらに進んで初歩的な原子論 を発展させた。
ケプラー本人は予想を証明できなかったが、ガウス は球が規則配置を取る場合についてケプラー予想が正しいことを証明し[ 5]
つまり、ケプラー予想の反証となる充填配置があるとすれば不規則配置でなければいけない。しかし、実現可能な不規則配置をすべてチェックするのは非常に困難で、それこそケプラー予想をここまで証明困難なものにした理由である。
ガウス以降、19世紀の間はケプラー予想の証明に向けた進展はなかった。1900年にダフィット・ヒルベルト が数学における23の未解決問題 を提起したとき、ケプラー予想は関連する問題とともに第18問題に挙げられた。
解決に向けて次のステップを踏み出したのはラースロー・フェイェシュ＝トートである。彼は、規則・不規則を問わずあらゆる配置の最大密度を求める問題が、有限個の（しかし非常に多数の）計算に還元されることを示した[ 1]
他方では、あらゆる可能な球配置の最大密度の上界 を見つけようという試みがなされていた。イギリスの数学者クロード・アンブローズ・ロジャーズは一つの上界として約78%の値を得た[ 6]
1990年にウ＝イ・シアン（項武義）はケプラー予想を証明したと発表した。この成果は「エンサイクロペディア・ブリタニカ 」および「サイエンス 」誌で好意的に取り上げられ、シアンはAMS -MAAジョイントミーティングに招待される栄誉を得た[ 7] [ 8] [ 9] [ 10] [ 11] [ 12]
ミシガン大学 に在籍していたトマス・ヘイルズは、ラースロー・フェイェシュ＝トートが提案したアプローチ[ 1] 線型計画法 により、すべての異なる配置の集合に含まれる5000種以上の配置一つ一つについて関数値の下界を求める計画に着手した。すべての配置で関数の下界が立方最密配置の関数値を超えるならば、それがケプラー予想の証明になる。可能なすべてのケースについて下界を求めるには、10万個ほどの線形計画問題 を解く必要があった。
1996年に研究プロジェクトを公表するに際して、終結は目前ながら完了まで「1・2年」かかるかもしれない、とヘイルズは述べた。1998年の8月にヘイルズは証明の完了を発表した。この時点で証明は250ページの手稿と3ギガバイト のプログラム、データ、計算結果から構成されていた。
証明の形式が異例だったにもかかわらず、Annals of Mathematics 誌の編集者は掲載に同意したが、12人の専門家による査読 を条件とした。2003年、四年間の作業を経て、査読者団の筆頭であったガボル・フェイェシュ＝トートは証明が正しいことに「99%の確信を持っている」と報告した。しかし、コンピュータによる計算がすべて正しいと保証することはできなかった。
2005年、ヘイルズは100ページの論文で、証明の中でコンピュータを用いない部分を詳述した[ 13] [ 14] ファルカーソン賞 を受賞した。
2003年1月、ヘイルズはケプラー予想の完全な形式的証明を求める共同プロジェクトを開始した。その目標は、証明の妥当性に一切の疑問を残さないため、HOL LightやIsabelleなどの自動証明検証 （英語版 ） [訳語疑問点 プログラムにかけられるような形式的証明を構築することであった。プロジェクトは「Flyspeck」と名付けられた。そのうちの3文字、F、P、Kは「Formal Proof of Kepler」（ケプラーの形式的証明）から取ったものである。ヘイルズは完全な形式的証明を構築するのには20年ほどの作業が必要だと見積もっていた。2014年8月10日にプロジェクトの終結が発表された[ 15] [ 16]
トゥエ （英語版 ） 英 : Thue's theorum ）平面に球を詰め込む最密配置は六方格子である。
2次元版のケプラー予想。証明は初等的である。ヘンクとジーグラーはこの功績を1773年のラグランジュ に帰した[ 17] ハチの巣予想 （英 : honeycomb conjecture ）平面を等しい面積の区画に分けるとき、境界の長さが最小になるのは六方格子タイリング である。
証明はヘイルズによる[ 18] 十二面体予想
等しい大きさの球による球充填から作られるボロノイ 多面体の体積は、内接円半径が1である正十二面体 の体積より小さくなることがない[ 19]
ケプラー予想と関連する問題で、ヘイルズと同様の手法で証明された。マクローリンによる証明[ 20] モーガン賞 を受賞した。ラースロー・フェイェシュ＝トートが1950年に提示していた予想である。 ケルヴィン問題
3次元において、どのような構造のフォーム がもっとも効率的（膜面積最小）か？ 100年以上にわたり、この問題の解はいわゆるケルヴィン構造だと予想されてきた。しかし、ウィア＝フェラン構造 の発見[ 21] 高次元における球充填
最適球充填の問題は1、2、3、8、24次元を除いて未解決である。8次元と24次元における証明は2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカ によって得られた[ 22] ウラムの充填予想
球よりも最適充填密度が低くなるような凸立体が存在するかどうかはまだ分かっていない。
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