アーネシの曲線。c = 1（赤）、2（青）、3（緑） アーネシの曲線 （アーネシのきょくせん） (伊 : la versiera di Agnesi , 英 : witch of Agnesi ) またはアーネシの魔女 は直交座標 における方程式
y
=
c
3
x
2
+
c
2
{\displaystyle y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}}
すなわち
(
x
2
+
c
2
)
y
−
c
3
=
0
{\displaystyle (x^{2}+c^{2})y-c^{3}=0}
曲線 である。迂池線 とも称する[ 1]
18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ （アーネシ）が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera（縄）の誤訳であって、意味はない。
アーネシの曲線 原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。
原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。
直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。
点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。
A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線 である。
アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの 円の半径を a とすると（c =2a ）、曲線の方程式はこうなる。
y
=
8
a
3
x
2
+
4
a
2
{\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}
a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。
y
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}}
t による媒介変数表示 によって、次式で表すこともできる：
x
=
2
a
t
,
y
=
2
a
t
2
+
1
{\displaystyle x=2at,\quad y={\frac {2a}{t^{2}+1}}}
θ
{\displaystyle \theta \,}
x
=
2
a
tan
θ
,
y
=
2
a
cos
2
θ
{\displaystyle x=2a\tan \theta ,\quad y=2a\cos ^{2}\theta }
θ
{\displaystyle \theta \,}
x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。
x
=
2
a
cot
θ
,
y
=
2
a
sin
2
θ
{\displaystyle x=2a\cot \theta ,\quad y=2a\sin ^{2}\theta }
アーネシの曲線で a =1, a =2, a =4, a =8 としたグラフ y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線 とする。変曲点 は
(
−
2
a
3
,
3
a
2
)
,
(
2
a
3
,
3
a
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}
曲線と x 軸との間の領域の面積 は、元の円の面積の4倍（つまり
4
π
a
2
{\displaystyle 4\pi a^{2}}
上の領域の重心 は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積 は、
4
π
2
a
3
{\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}
この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー （1630年）、Guido Grandi（伊 ）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ （1748年）の研究が知られている[ 2]
イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる[ 3] [ 4] [ 5]
"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。
