Valore singolare

In matematica, il termine valore singolare è utilizzato per indicare due concetti distinti, rispettivamente utilizzati nell'algebra lineare e analisi funzionale e nel contesto degli integrali ellittici.

Algebra lineare e analisi funzionale

In analisi funzionale, i valori singolari di un operatore compatto ${\displaystyle T:X\to Y}$ che mappa tra due spazi di Hilbert ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono le radici quadrate degli autovalori dell'operatore autoaggiunto non-negativo ${\displaystyle T^{*}T:X\to X}$ (dove ${\displaystyle T^{*}}$ è l'operatore aggiunto di ${\displaystyle T}$).

Si tratta di numeri reali non negativi solitamente scritti in ordine decrescente come ${\displaystyle (s_{1}(T),s_{2}(T),\dots )}$. Se ${\displaystyle T}$ è a sua volta autoaggiunto allora il maggiore ${\displaystyle s_{1}}$ tra valori singolari è uguale alla norma operatoriale di ${\displaystyle T}$.

In algebra lineare, nel caso di una matrice normale ${\displaystyle A}$ si può applicare il teorema spettrale per ottenere una diagonalizzazione ${\displaystyle U\lambda U^{*}}$ (tramite matrici unitarie) di ${\displaystyle A}$ in modo che ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}=U|\Lambda |U^{*}}$ e quindi i valori singolari sono semplicemente i valori assoluti degli autovalori.

Nel caso finito-dimensionale, tramite la decomposizione ai valori singolari una matrice può essere decomposta nella forma ${\displaystyle UDW}$ dove ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle W}$ sono matrici unitarie e ${\displaystyle D}$ una matrice diagonale (rettangolare) con autovalori sulla diagonale.

Il concetto è stato introdotto da Erhard Schmidt nel 1907. Schmidt chiamava tuttavia "autovalori" i valori singolari; il termine è dovuto a Smithies, nel 1937. Nel 1957 Allahverdiev mostrò la seguente caratterizzazione per l'n-esimo valore singolare:

${\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:{\text{ rk }}(L)<n\,{\big \}}}$

Questa formulazione consente di estendere la nozione di valore singolare ad operatori in spazi di Banach.

Integrali ellittici

Nell'ambito degli integrali ellittici, un valore singolare è un modulo ellittico ${\displaystyle k_{r}}$ tale per cui:

${\displaystyle {\frac {K'(k_{r})}{K(k_{r})}}={\sqrt {r}}}$

dove ${\displaystyle K(k)}$ è un integrale ellittico completo di prima specie e:

${\displaystyle K'(k_{r})\equiv K\left({\sqrt {1-k_{r}^{2}}}\right)}$

Bibliografia

• (EN) Gohberg, I. C. and Krein, M. G. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
• (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.
• (EN) Marcus, M. and Minc, H. Introduction to Linear Algebra. New York: Dover, p. 191, 1988.
• (EN) Marcus, M. and Minc, H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. New York: Dover, p. 69, 1992.
• (EN) Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Decomposizione ai valori singolari
• Matrice normale
• Operatore autoaggiunto
• Operatore compatto
• Teorema spettrale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Valore singolare, su MathWorld, Wolfram Research.