Trasformazione di Box-Muller

Diagramma della trasformazione di Box Muller. I cerchi iniziali, a distanza uniforme dall'origine sono trasformati in un insieme di cerchi centrati nell'origine più concentrati vicino all'origine. I cerchi più grandi vengono mandati nei cerchi più piccoli e viceversa.

La trasformazione di Box-Muller (George Edward Pelham Box e Mervin Edgar Muller, 1958)[1] è un metodo per generare coppie di numeri casuali indipendenti e distribuiti gaussianamente con media nulla e varianza uno.

La trasformazione viene comunemente espressa in due forme. La forma principale è quella del lavoro originale: si campionano due numeri dalla distribuzione uniforme sull'intervallo ${\displaystyle (0,1]}$ e si ricavano due numeri distribuiti normalmente. La forma polare campiona due numeri su un intervallo differente (${\displaystyle [-1,+1]}$) e permette di ricavare due numeri distribuiti normalmente senza l'uso delle funzioni seno e coseno.

Forma base

Siano ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ due variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite nell'intervallo ${\displaystyle (0,1]}$. Sia

${\displaystyle Z_{0}=R\cos(\Theta )={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\cos(2\pi U_{2})}$

e

${\displaystyle Z_{1}=R\sin(\Theta )={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\sin(2\pi U_{2}).}$

Allora Z₀ e Z₁ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale di deviazione standard unitaria.

La dimostrazione[2] è basata sul fatto che, in un sistema cartesiano bidimensionale nel quale le coordinate X e Y sono descritte da due variabili casuali indipendenti normalmente distribuite, le variabili casuali R^2 e ${\displaystyle \Theta }$ nelle corrispondenti coordinate polari sono a loro volta indipendenti e possono essere espresse come

${\displaystyle R^{2}=-2\cdot \ln U_{1}}$

e

${\displaystyle \Theta =2\pi U_{2}.}$

Forma polare

Due valori distribuiti uniformemente, ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ vengono usati per ottenere il valore ${\displaystyle s=R^{2}}$, anch'esso uniformemente distribuito. Le definizioni di seno e coseno vengono quindi applicate alla forma base della trasformazione di Box-Muller per evitare l'uso di funzioni trigonometriche.

La forma polare viene attribuita da Devroye[3] a Marsaglia. Viene citata senza attribuzione in Carter.[4]

Assegnati ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$, indipendenti ed uniformemente distribuiti nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [-1,+1]}$, si pone ${\displaystyle s=R^{2}=u^{2}+v^{2}}$. Se ${\displaystyle s=0}$ o ${\displaystyle s\geq 1}$, si trascurano ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ e si considera un'altra coppia ${\displaystyle (u,v)}$. Si continua fino a trovare una coppia con ${\displaystyle s}$ nell'intervallo aperto ${\displaystyle (0,1)}$. Dal momento che ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono distribuiti uniformemente e poiché solamente i punti all'interno della circonferenza unitaria sono stati accettati, anche i valori di ${\displaystyle s}$ saranno distribuiti uniformemente nell'intervallo aperto ${\displaystyle (0,1]}$ .

Il valore di ${\displaystyle s}$ si identifica con quello della forma base, ${\displaystyle U_{1}}$. Come mostrato in figura, i valori di ${\displaystyle \cos \theta =\cos 2\pi U_{2}}$ e ${\displaystyle \sin \theta =\sin 2\pi U_{2}}$ nella forma base possono essere sostituiti con i rapporti ${\displaystyle \cos \theta =u/R=u/{\sqrt {s}}}$ e ${\displaystyle \sin \theta =v/R=v/{\sqrt {s}}}$ rispettivamente. Il vantaggio è dato dalla mancata valutazione delle funzioni trigonometriche che è un'operazione computazionalmente più onerosa di un rapporto. Così come per la forma base, si sono ottenute due variabili gaussiane a varianza unitaria.

${\displaystyle z_{0}={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\cos(2\pi U_{2})={\sqrt {-2\ln s}}\left({\frac {u}{\sqrt {s}}}\right)=u\cdot {\sqrt {\frac {-2\ln s}{s}}}}$

e

${\displaystyle z_{1}={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\sin(2\pi U_{2})={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\left({\frac {v}{\sqrt {s}}}\right)=v\cdot {\sqrt {\frac {-2\ln s}{s}}}.}$

Confronto fra le due forme

La forma polare differisce da quella base in quanto è un esempio di tecnica di rigetto. Vengono scartati alcuni numeri casuali, ma l'algoritmo è più veloce della forma base perché meno oneroso da valutare numericamente, purché il generatore di numeri casuali sia relativamente efficiente, e tipicamente più robusto.[4]

Si evita il l'utilizzo delle funzioni trigonometriche che sono più costose delle divisioni; vengono scartate 1 − π/4 ≈ 21.46% del totale di coppie generate, ovvero si scartano 4/π − 1 ≈ 27.32% coppie di numeri casuali uniformemente distribuiti per ciascuna coppia di numeri casuali normalmente distribuiti, richiedendo 4/π ≈ 1.2732 numeri di input per numero generato.

La forma base richiede tre moltiplicazioni, un logaritmo, una radice quadrata ed una funzione trigonometrica per ciascun numero casuale normalmente distribuito[5]

La forma polare richiede due moltiplicazioni, un logaritmo, una radice quadrata ed una divisione per ciascun numero gaussiano. L'effetto è quello di sostituire una moltiplicazione ed una funzione trigonometrica con una sola divisione.

La trasformata di Box-Muller viene utilizzata in simulazioni numeriche di dinamica molecolare tramite il metodo Monte Carlo o per esempio per campionare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Bibliografia

1. (EN) G. E. P. Box and Mervin E. Muller, A Note on the Generation of Random Normal Deviates, The Annals of Mathematical Statistics (1958), Vol. 29, No. 2 pp. 610-611
2. (EN) Sheldon Ross, A First Course in Probability, (2002), p.279-81
3. (EN) L. Devroye: 'Non-Uniform Random Variate Generation', Springer-Verlag, New York, 1986. Archiviato il 5 maggio 2009 in Internet Archive.
4. Everett F. Carter, Jr., The Generation and Application of Random Numbers, Forth Dimensions (1994), Vol. 16, No. 1 & 2.
5. Il calcolo di ${\displaystyle 2\pi U_{1}}$ è contato come singola moltiplicazione perché il valore ${\displaystyle 2\pi }$ può essere calcolato precedentemente ed utilizzato in seguito.

Voci correlate

• Distribuzione normale
• Metodo Montecarlo
• Dinamica molecolare

Collegamenti esterni

• (EN) Applet Java relativo a Box-Muller, su kdcalc.com.
• (EN) Generare numeri casuali, su taygeta.com.
• (EN) La trasformazione di Box-Muller su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.