Test dei run

In statistica il test dei run, o test delle sequenze, o test di Wald-Wolfowitz (da Abraham Wald e Jacob Wolfowitz) è un test di verifica d'ipotesi, non parametrico, condotto sull'indipendenza dei dati in una sequenza binaria.

Il test ammette che la sequenza venga da un processo di Bernoulli e ne accetta le frequenze osservate, per controllare la casualità della distribuzione dei dati. Per fare questo considera il numero di catene alternate di simboli uguali, o run.

I run

Ad esempio, la sequenza "1111000111001111110000" possiede 6 run: "1111 000 111 00 111111 0000". I simboli comunemente usati sono "+" e "-", perché il test viene solitamente condotto per controllare la distribuzione dei valori superiori o inferiori alla mediana o ad una funzione di interpolazione.

Una sequenza in cui i run siano pochi (come "111111000000") o troppi (come "101010101010") rispetto alla frequenza dei simboli probabilmente non è il risultato di una fluttuazione dei dati e può indicare un errore sistematico.

Test

Il test dei run suppone che il numero di run di una sequenza lunga ${\displaystyle N}$, di ${\displaystyle N^{+}}$ simboli "+" e ${\displaystyle N^{-}}$ simboli "-" (quindi con ${\displaystyle N=N^{+}+N^{-}}$ si comporti come una variabile aleatoria di legge normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma )}$ con

valore atteso ${\displaystyle \mu =1+2{\frac {N^{+}N^{-}}{N}}}$

e varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}}}$.

Solitamente si chiede che entrambi ${\displaystyle N^{+}}$ e ${\displaystyle N^{-}}$ siano superiori a 20.

Test d'ipotesi alternativi sono il test di Kolmogorov-Smirnov e il test χ², che è "complementare" al test dei run (nel senso che considera i valori assoluti degli scostamenti dalla media, non i loro segni).

Probabilità

La situazione del test è modellizzata da un processo di Bernoulli di parametro p, ovvero in una successione di variabili aleatorie indipendenti X₁, ..., X_n con probabilità ${\displaystyle P(X_{i}=1)=p}$ di verificare una proprietà (simbolo "+") e ${\displaystyle P(X_{i}=0)=q=1-p}$ di non verificarla (simbolo "-"). Il numero di simboli dopo n prove è dato dalle variabili aleatorie ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\ldots +X_{n}}$ e ${\displaystyle {n-S_{n}}}$, con valore atteso rispettivamente n^+=np e n^-=nq.

Il numero di run può essere definito come

${\displaystyle R_{n}=1+I_{1}+\ldots +I_{n-1}}$,

dove le variabili aleatorie ${\displaystyle I_{i}=|X_{i}-X_{i+1}|}$ contano i nuovi run.

La speranza e la varianza di ${\displaystyle R_{n}}$ sono

${\displaystyle E[R_{n}]=1+2(n-1)pq}$;

${\displaystyle {\text{Var}}(R_{n})=(4n-6)pq-(12n-20)p^{2}q^{2}}$.

Lo stimatore del valore atteso di ${\displaystyle R_{n}}$, ${\displaystyle \textstyle 1+2{\frac {S_{n}(n-S_{n})}{n}}=1+2n{\frac {S_{n}}{n}}(1-{\frac {S_{n}}{n}})}$, è privo di bias:

${\displaystyle E{\big [}\textstyle 1+2{\frac {S_{n}(n-S_{n})}{n}}{\big ]}-E[R_{n}]=0}$.

Esempio

Ad esempio, per una sequenza con N=16, N^+=10 e N^-=6 (normalmente il test viene condotto su sequenze più lunghe), secondo il test dei run se i caratteri fossero indipendenti il numero di run dovrebbe seguire la legge normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ con

speranza ${\displaystyle \textstyle \mu =1+2{\frac {N^{+}N^{-}}{N}}=1+2{\frac {6\cdot 10}{16}}={\frac {17}{2}}=8,5}$ ;

varianza ${\displaystyle \textstyle \sigma ^{2}={\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{N-1}}={\frac {{\frac {15}{2}}{\frac {13}{2}}}{15}}={\frac {13}{4}}=3,25}$ ;

scarto tipo ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {3,25}}=1,802...}$.

In particolare, gli stessi dati sono presenti con diverse distribuzioni in queste sequenze:

• "1111111111000000" ha 2 run, pari a circa ${\displaystyle \mu -3,6\sigma }$,
• "1010110110101101" ha 13 run, pari a circa ${\displaystyle \mu +2,5\sigma }$,
• "1100110111001101" ha 9 run, pari a circa ${\displaystyle \mu +0,3\sigma }$;

i loro valori p (ovvero le probabilità di discostarsi così tanto dalla media) sono all'incirca 0,0005 per la prima, 0,01 per a seconda e 0,76 per la terza.

Voci correlate

• Abraham Wald
• Processo di Bernoulli
• Test di verifica d'ipotesi
• Test di Kolmogorov-Smirnov
• Test chi quadrato
• Variabile aleatoria
• Variabili indipendenti