Teorema di Schur-Horn

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati.

Premessa

Si definisce un preordine su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Siano ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ e ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}}$, dico che ${\displaystyle \mathbf {x} \succeq \mathbf {y} }$ se, supponendo che:

${\displaystyle x_{i_{1}}\leq \dots \leq x_{i_{n}}}$ e ${\displaystyle y_{j_{1}}\leq \dots \leq y_{j_{n}}}$

Si ha:

${\displaystyle x_{i_{1}}\geq y_{j_{1}}}$

${\displaystyle x_{i_{1}}+x_{i_{2}}\geq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{i_{k}}\geq \sum _{k=1}^{n}y_{j_{k}}}$.

Enunciato

Siano ${\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{n})^{T}}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}}$ tali che ${\displaystyle \mathbf {d} \succeq \mathbf {v} }$. Allora valgono i seguenti due fatti equivalenti:

• Esiste una matrice reale simmetrica ${\displaystyle A}$ con diagonale ${\displaystyle \mathbf {d} }$ e autovalori ${\displaystyle \mathbf {v} }$;
• Esiste una matrice reale ortogonale ${\displaystyle Q}$ tale che, detta ${\displaystyle \Lambda }$ la matrice diagonale di autovalori ${\displaystyle \mathbf {v} }$, ${\displaystyle Q\Lambda Q^{T}}$ ha come diagonale ${\displaystyle \mathbf {d} }$.

Bibliografia

• (EN) Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.
• (EN) Lieb, E. H. "Variational Principle for Many-Fermion Systems." Phys. Rev. Lett. 46, 457-459, 1981.

Voci correlate

• Algoritmo di Chan-Li, una dimostrazione costruttiva del teorema.
• Decomposizione di una matrice
• Teoria delle matrici

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Horn's Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.