Teorema di Lindemann-Weierstrass

In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle \pi }$.

Esso afferma che se ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, allora ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}}$ sono algebricamente indipendenti su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Una formulazione equivalente è la seguente: se ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ sono numeri algebrici distinti, allora ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}}$ sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici.

Ferdinand von Lindemann provò per primo, nel 1882, che ${\displaystyle e^{\alpha }}$ è trascendente per ogni numero algebrico non nullo ${\displaystyle \alpha }$, mentre nel 1885 Karl Weierstrass ha provato la versione più generale qua enunciata.

Il teorema è generalizzato dalla congettura di Schanuel.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Estensione di campi
• Dimostrazione della trascendenza di e

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Lindemann-Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.