Teorema di Cramér-Wold

Il teorema di Cramér-Wold (dai suoi autori Harald Cramér e Herman Ole Andreas Wold), utilizzato nella teoria della misura afferma che una misura di probabilità di Borel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ è unicamente determinata dalla totalità delle sue proiezioni unidimensionali.

Siano

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\;}$

e

${\displaystyle \;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$

vettori casuali di dimensione k. Allora ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ converge a ${\displaystyle {\overline {X}}}$ se e solo se:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\frac {D}{\overrightarrow {\infty }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

per ogni ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$ Vale a dire se per ogni prefissata combinazione lineare delle coordinate di ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ converge in distribuzione alla corrispondente combinazione lineare di ${\displaystyle {\overline {X}}}$.