Teorema della farfalla

In matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

sia ${\displaystyle M}$ il punto medio di una corda ${\displaystyle PQ}$ di un cerchio e siano ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle CD}$ altre due corde passanti per ${\displaystyle M}$ e siano ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ i punti di intersezione tra le corde ${\displaystyle AD}$ e ${\displaystyle BC}$ e la corda ${\displaystyle PQ}$ rispettivamente. Allora ${\displaystyle M}$ sarà il punto medio di ${\displaystyle XY}$.

Dimostrazione

Dimostrazione del Teorema della farfalla

Siano ${\displaystyle XX'}$ e ${\displaystyle XX''}$ le perpendicolari, condotte da ${\displaystyle X}$, rispettivamente a ${\displaystyle AM}$ e a ${\displaystyle DM}$. In modo analogo, siano ${\displaystyle YY'}$ e ${\displaystyle YY''}$ le perpendicolari, condotte da ${\displaystyle Y}$, rispettivamente a ${\displaystyle BM}$ e a ${\displaystyle CM}$.

Adesso, poiché

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'},}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY},}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,}$

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY},}$

Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},}$

${\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}$

${\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

poiché ${\displaystyle PM}$ = ${\displaystyle MQ}$

Ora,

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Pertanto, possiamo concludere che ${\displaystyle MX=MY,}$, ovvero ${\displaystyle M}$ è il punto medio di ${\displaystyle XY.}$

Bibliografia

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Butterfly Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.
• The Butterfly Theorem su cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem su cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem su PlanetMath
• The Butterfly Theorem di Jay Warendorff, da Wolfram Demonstrations Project.