Risposta impulsiva

Schema di risposta all'impulso

Nella teoria dei sistemi, la risposta impulsiva o risposta all'impulso di un sistema dinamico è la sua uscita quando è soggetto ad un ingresso a Delta di Dirac; viene utilizzata per descrivere la risposta in frequenza di un sistema dinamico ad una perturbazione generica. La delta di Dirac vista come "funzione" contiene equamente tutte le frequenze, e si presta particolarmente bene allo studio teorico nel dominio della frequenza di un sistema lineare. Il comportamento ingresso-uscita di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) è completamente caratterizzato dalla sua risposta impulsiva, la cui trasformata di Laplace viene detta funzione di trasferimento del sistema LTI.

Sistemi LTI

L'uscita ${\displaystyle y(t)}$ di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso ${\displaystyle x(t)}$ è descritta dalla convoluzione:

${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau }$

dove ${\displaystyle h(t)}$ è la risposta del sistema quando l'ingresso ${\displaystyle x(t)}$ è una funzione a delta di Dirac. Per sistemi LTI ${\displaystyle h}$ è l'antitrasformata di Laplace della funzione di trasferimento. L'uscita ${\displaystyle y}$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso ${\displaystyle x}$ pesata dalla funzione ${\displaystyle h(-\tau )}$, traslata di un tempo ${\displaystyle t}$. L'operazione di convoluzione può essere particolarmente difficile da effettuare per via analitica, e viene spesso eseguita come prodotto algebrico nel dominio delle frequenze, grazie al teorema di convoluzione.

Se la funzione ${\displaystyle h(\tau )}$ è nulla quando ${\displaystyle \tau <0}$ allora ${\displaystyle y(t)}$ dipende soltanto dai valori assunti da ${\displaystyle x}$ precedentemente al tempo ${\displaystyle t}$, ed il sistema è detto causale.

Bibliografia

• (EN) James D. Hamilton, Difference Equations, in Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994, p. 5, ISBN 0-691-04289-6.

Voci correlate

• Convoluzione
• Delta di Dirac
• Funzione di trasferimento
• Risposta in frequenza
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Soluzione fondamentale

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