Tale espressione generale può essere espressa in più forme diverse, ognuna specifica per il problema considerato; si giunge alle diverse espressioni della relazione di Einstein–Smoluchowski definendo ogni volta in maniera opportuna la mobilità . Tale relazione generale non è altro che un'applicazione del teorema fluttuazione-dissipazione.
La relazione di Einstein–Smoluchowski può essere applicata al caso del moto diffusivo di una particella sferica immersa in un fluido viscoso, ottenendo la seguente espressione, detta equazione di Stokes-Einstein (valida per bassi valori del numero di Reynolds):[2]
in cui:
il termine indica la mobilità () della particella;
Tale relazione si ricava sostituendo il valore della forza ottenuta dalla legge di Stokes all'interno della relazione generale di Einstein–Smoluchowski.
L'equazione di Stokes-Einstein non è valida nel caso di meccanismo di trasporto "a salto" (che avviene per gli ioni di piccole dimensioni), in cui le particelle si spostano attraverso difetti reticolari vicini (vacanze o posizioni interstiziali).[3]
Diffusione attraverso un campo elettrico
La relazione di Einstein–Smoluchowski applicata al moto diffusivo di una particella immersa in un campo elettrico assume la seguente forma[4]:
Per una dimostrazione della relazione di Einstein-Smoluchowski si veda ad esempio Kubo[5].
Si consideri un insieme di particelle soggette a una forza conservativa (ad esempio una forza di Coulomb) , funzione della posizione , generata da un potenziale. Si assuma che ogni particella reagisca all'azione di questa forza muovendosi con una velocità (si noti che nel caso più generale il coefficiente di mobilità è a sua volta funzione della posizione). Si assuma inoltre che il numero di particelle sia sufficientemente elevato da poter essere modellizzate, da un punto di vista macroscopico, con una funzione densità . Dopo un certo tempo, in assenza di altri fenomeni, il sistema raggiungerà un equilibrio: le particelle si accumuleranno nelle regioni a minore energia potenziale ma continueranno a muoversi disordinatamente in risposta a processi diffusivi a cui sono sottoposte. All'equilibrio il flusso netto di particelle è nullo in ogni punto dello spazio: in questa condizione la corrente di trasporto (in inglese drift current, cioè il processo generato dalla forza che fa muovere le particelle verso zone a minore energia) e il processo di diffusione (diffusion current) sono perfettamente bilanciati.
Il flusso netto di particelle dovuto alla corrente di trasporto è
la cui interpretazione è che il numero di particelle che attraversano una data posizione è uguale alla densità di particelle moltiplicata per la loro velocità media.
Il flusso netto di particelle dovuto alla corrente di diffusione è invece, dalla legge di Fick,
dove il segno negativo significa che le particelle si muovono da zone a concentrazione maggiore verso zone a concentrazione minore.
In condizioni di equilibrio . Inoltre, per un insieme di particelle non interagenti la densità di equilibrio è funzione soltanto del potenziale , cioè due posizioni aventi stessa avranno anche la stessa densità (si veda l'esempio sulla distribuzione di Maxwell-Boltzmann discusso di seguito). Questo legame fornisce, applicando la regola della catena,
All'equilibrio dunque vale:
Dal momento che questa relazione vale per ogni punto del dominio considerato, essa implica la relazione di Einstein-Smoluchowski nel caso generale:
^ Van Zeghbroeck, 2.7, su Principles of Semiconductor Devices, ecee.colorado.edu. URL consultato il 21 giugno 2016 (archiviato dall'url originale il 6 maggio 2021).