Quantificatore esistenziale (simbolo)

Il quantificatore esistenziale è un carattere tipografico scientifico, molto usato sia in insiemistica che in logica, due campi tra loro affini della matematica; il nome del ∃ ha un'etimologia facilmente ricercabile: con la parola quantificatore si intende la sua funzione di indicare la grandezza o l'estensione di un'affermazione e con esistenziale il fatto che tale proposizione vale sempre almeno per un caso, che dunque esiste. La sua lettura matematica corrisponde a "esiste un/una", e la sua forma viene dalla lettera E maiuscola invertita, l'iniziale capovolta della parola inglese Exists.

Storia e utilizzo

Il quantificatore esistenziale è un'invenzione risalente all'anno 1879 del famoso matematico ottocentesco Frege, che si fregiò anche della creazione del quantificatore universale ∀; lo studioso sognava infatti di unire la logica aristotelica con quella matematica, ma ciò pareva impossibile perché parole come tutti e esiste (presenti in proposizioni come "Tutti gli uomini sono mortali" o "Esiste almeno un filosofo greco") non si potevano tramutare direttamente in linguaggio matematico.

Nonostante l'idea di quantificatore esistenziale sia dunque da attribuire a Frege, furono Peirce e Peano ad ideare il simbolo ∃, che oggi è senz'altro più usato del vecchio segno introdotto dall'inventore del XIX secolo e mai più adoperato in seguito.

Un esempio di utilizzo del quantificatore esistenziale è il seguente:

${\displaystyle \forall x\exists y|x^{2}\,=\,y}$

che si legge "per ogni x esiste una y tale che x al quadrato è uguale a y". Esistono naturalmente anche numerosi altri usi, dove ∃ può assumere anche il significato di qualche (in opposizione a ∀, che vuol dire tutti); spesso lo si usa unito ad altri simboli di logica matematica, quali et, vel o non.

Un altro contesto di utilizzo è per definire l'unicità aggiungendo un punto esclamativo dopo di esso " ∃! ". In questa forma si legge "esiste ed è unico".

Per dire, invece che non esiste un elemento il quantificatore esistenziale viene barrato, ovvero viene usato il simbolo "∄", oppure viene combinato con il simbolo non e diviene ¬∃.

Bibliografia

• (EN) Anne Sjerp Troelstra, H. Schwichtenberg, Basic Proof Theory (2nd ed.). Cambridge University Press, 2000.
• (EN) Hinman, P., Fundamentals of Mathematical Logic, A K Peters, 2005, ISBN 1-56881-262-0.
• (EN) George Boolos, Richard Jeffrey, Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press, 1989.
• Diego Filotto, Dalla grammatica alla logica. Armando Editore, 2005.
• Andrea Asperti, Agata Ciabattoni, Logica a Informatica (2 ed.). McGraw-Hill, 2005.
• Achille C. Varzi, John Nolt, Dennis Rohatyn, Logica (2 ed.). McGraw-Hill, 2007.
• Dario Palladino, Corso di Logica. Introduzione elementare al calcolo dei predicati, Carocci, 2002.
• Dario Palladino, Logica e teorie formalizzate. Completezza, incompletezza, indecidibilità, Carocci, 2004.
• Vincenzo Manca, Logica Matematica, Bollati Boringhieri, 2000.
• Elliott Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica, Bollati Boringhieri, 1972.

Voci correlate

• Quantificatore
• Quantificatore universale (simbolo)
• Teoria degli insiemi
• Logica matematica

Collegamenti esterni

• Quantificatore esistenziale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) existential quantifier, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Exists, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Existential quantifier, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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